专题10+数列、等差数列﹑等比数列（仿真押题）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 13页

‎1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A．(2n－1)2　　　　　　　 B. C．4n－1 D. 答案：D ‎2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析：∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ 答案：C ‎3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝(　　)‎ A．－2 B．8‎ C．10 D．14‎ 解析：依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.‎ 答案：B ‎4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝(　　)‎ A．29 B．210‎ C．211 D．212‎ 解析：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.‎ 答案：C ‎5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C. ‎ 答案：C ‎6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．n(3n－1) B. C．n(n＋1) D. 解析：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.‎ 答案：C ‎7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析　设数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，‎ ‎∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，‎ ‎∴5a5＝10，∴a5＝2.‎ 答案　A ‎8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为(　　)‎ A.－2或1 B.－1或2 C.－2 D.1‎ 答案　C ‎9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)‎ A.－110 B.－90 C.90 D.110‎ 解析　∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，‎ 又∵a7是a3与a9的等比中项，‎ ‎∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.‎ ‎∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.‎ 答案　D ‎10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　)‎ A.n(n＋1) B.n(n－1)‎ C. D. 解析　由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，‎ 即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.‎ ‎∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).‎ 答案　A ‎11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 即正整数n的个数是5. ‎ 答案 D ‎12.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.‎ 解析　根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大. ‎ 答案　8‎ ‎13.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，由已知，得解得q4＝.‎ 又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，‎ a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，‎ 所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.‎ 答案　3‎ ‎14.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.‎ 答案　.－9‎ ‎15.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.‎ 答案 22‎ 解析　根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1‎ ‎＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.‎ ‎16.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.‎ 答案 an＝ 解析　由f(0)＝，得a1＝，‎ 由f(1)＝n2an(n∈N*)，‎ 得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，‎ 整理得＝，‎ 所以an＝a1×××…× ‎＝××××…×＝，‎ 显然a1＝也符合.‎ 即{an}的通项公式为an＝.‎ ‎17.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.‎ 答案 5‎ ‎ ‎ ‎18.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.‎ 答案 an＝ 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②‎ 由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1 (n≥2).‎ 又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.‎ ‎∴an＝ ‎19.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.‎ 答案 an＝ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).‎ ‎(1) 证明：1≤≤2(n∈N*)；‎ ‎(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).‎ 证明　(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.‎ 由an＝(1－an－1)an－1得 an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.‎ 由0＜an≤得 ＝＝∈(1,2]，‎ 即1≤≤2成立.‎ ‎(2)由题意得a＝an－an＋1，‎ 所以Sn＝a1－an＋1，①‎ 由－＝和1≤≤2得 ‎1≤－≤2，‎ 所以n≤－≤2n，‎ 因此≤an＋1≤(n∈N*).②‎ 由①②得≤≤(n∈N*).‎ ‎21.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎22.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.‎ ‎(1)解　设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.‎ 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.‎ 解得a＝5.‎ 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.‎ 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，‎ 解得d＝2或d＝－13(舍去).‎ 故{bn}的第3项为5，公比为2.‎ 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，‎ 解得b1＝.‎ 所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，‎ 即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.‎ ‎(2)证明　由(1)得数列{bn}的前n项和 Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.‎ 所以S1＋＝，＝＝2.‎ 因此是以为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎23．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1‎ ‎＝2bn－1，且b1＝3.‎ ‎(1)求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．‎ 所以Sn＝＋＋…＋＝1－，‎ 于是Sn－＝1－－1＋＝－＝.‎ 所以当n＝1,2时，2n＝2n，Sn＝1－；‎ 当n≥3时，2n<2n，Sn<1－.‎ ‎24．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．‎ ‎25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sin B＝6sin C.‎ ‎(1)求cos A的值；‎ ‎(2)求cos2A－π6的值．‎ 解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及 sin B＝6sin C，可得b＝6c.‎ 由a－c＝66b，得a＝2c.‎ 所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.‎ ‎(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.‎ 于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.‎ 所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.‎ ‎26．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝33.‎ ‎(1)求△ACD的面积；‎ ‎(2)若BC＝23，求AB的长．‎ 解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝33，‎