2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二上学期期中考试B卷数学（理）试题（解析版） 16页

‎2017-2018学年湖北省重点高中联考协作体高二上学期期中考试B卷数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设命题， ，则为（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，‎ 所以命题， ，则为 ， .‎ 故选C.‎ ‎2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点为： ，‎ 双曲线的渐近线为： .‎ 点到渐近线的距离为： .‎ 故选B.‎ ‎3．有关下列命题，其中说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若是假命题，则都是假命题 D. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；‎ B. “”可得或4，所以“”是“”的必要不充分条件，正确；‎ C. 若是假命题，则至少有一个是假命题，故C不正确；‎ D. 方程有实根，则，即.‎ 命题“若，则方程有实根”的逆命题为“若方程有实根，则”，为假命题，D正确.‎ 故选C.‎ ‎4．在空间直角坐标系， ， ， 确定的平面记为，不经过点的平面的一个法向量为，则（ ）‎ A. B. C. 相交但不垂直 D. 所成的锐二面角为 ‎【答案】A ‎【解析】∵， ， )确定的平面记为α，‎ ‎∴，‎ 设平面α的法向量，‎ 则，不妨令x=1,得，‎ ‎∵不经过点A的平面β的一个法向量为n→=(2,2,−2)，‎ ‎，‎ ‎∴α∥β.‎ 故选：A.‎ ‎5．已知直线与抛物线相交于两点，点是线段的中点， 为原点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与抛物线联立得： ，‎ 整理得： .‎ 设则有， ,‎ 点是线段的中点，所以.‎ 即,解得.‎ ‎.‎ 到直线的距离为： .‎ 的面积.‎ 故选D.‎ ‎6．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ， ，则线段的长为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为.‎ 两边平方得： ‎ ‎.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎7．如图，设椭圆（）的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，设AC中点为M，连接OM，‎ 则OM为△ABC的中位线，‎ 于是△OFM∽△AFB,且，‎ 即可得.‎ 故选B.‎ ‎8．已知分别为双曲线（， ）的左、右顶点，点为双曲线在第一象限图形上的任意一点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2， 的斜率分别为，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，‎ 双曲线的离心率为2，则.‎ 双曲线的渐近线为： ,所以.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 所以.‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：C.‎ ‎9．如图正方形折成直二面角，则二面角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵正方形的对角线BD为棱折成直二面角，‎ ‎∴平面ABD⊥平面BCD，‎ 连接相交于O,‎ 则AO⊥BD，‎ ‎∵平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD ‎∴AO⊥平面BCD，‎ 取CD中点M，则OM//BC,有OM⊥CD.‎ 所以∠AMO即为所求.‎ 不妨设正方形的边长为2，则，所以.‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题主要考查二面角的求法.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.‎ ‎10．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时， 的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设右焦点为F′,连接MF′,NF′,∵|MF′|+|NF′|⩾|MN|，‎ ‎∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大。‎ 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值.‎ ‎.‎ 把x=1代入椭圆标准方程可得： ，解得.‎ ‎∴此时△FMN的面积.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质、点到直线的距离公式求椭圆的定义，属于难题. ‎ 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 解答本题的关键是利用|MF′|+|NF′|⩾|MN|， 从而利用椭圆的定义求解.‎ ‎11．已知椭圆与双曲线的焦点重合， 分别为的离心率，则（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ,选A.‎ ‎12．设点为双曲线（， ）上一点， 分别是左右焦点， 是的内心，若， ， 的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图,设圆I与的三边、、分别相切于点，连接，‎ 则，‎ 它们分别是, , 的高，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其中r是的内切圆的半径。‎ ‎∵，‎ ‎∴− = ，‎ 两边约去r得： ，‎ 根据双曲线定义,得，‎ ‎∴离心率为.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理，及双曲线的定义列式求解即可.‎ 二、填空题 ‎13．已知命题，命题，若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】（- ∞，-2]‎ ‎【解析】若命题p为真命题，‎ 即，则，‎ 若命题q为真命题，‎ 即方程有实根,则，‎ 解得：a⩽−2，或a⩾1，‎ 若命题“p∨￢q”为假命题，则p假q真，‎ 故实数a的取值范围为a⩽−2，‎ 故答案为：（- ∞，-2].‎ ‎14．设圆，过原点作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵∠OPC=90°，动点P在以M(,0)为圆心，OC为直径的圆上，‎ ‎∴所求点的轨迹方程为.‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎15．已知为椭圆上任意一点， 为圆的任意一条直径，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】[5,21]‎ ‎【解析】因为 ‎.‎ 又因为椭圆的，‎ N(1,0)为椭圆的右焦点，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故答案为：[5,21].‎ ‎16．已知抛物线（）的焦点为， 的顶点都在抛物线上，且满足， __________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】设三点的坐标分别为，则 ‎∵，‎ ‎∴△ABC的重心是F，‎ ‎∵抛物线的焦点F的坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故答案为：0.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题方程： 表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】实m的取值范围是 或.‎ ‎【解析】试题分析：先根据椭圆的标准方程，双曲线的离心率求出命题p，q下的m的取值范围，然后根据p，q中有且只有一个为真命题得到，p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．‎ 试题解析：‎ 若真，则有9-m>2m>0即00且，解得 因为“”为假命题，“”为真命题，则，q一真一假。‎ ‎①若P真q假，则01，再由消去，得到t的关系式，由不等式的解法即可得到t的范围．‎ 试题解析：‎ 联立 由题意知，方程有两不等正根 即满足.‎ 解得：m>1 ‎ 设A（，B)‎ 由弦长公式可知，设= t (t>1)‎ 由 即 即 解得10）．求出A、P、C、D的坐标，得到平面PCD与平面PAB的法向量，由两法向量所成角的余弦值列式求得线段PA的长．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面 ，‎ 四边形是菱形，‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）取的中点，由题易证，分别以为轴，‎ 建立空间直角坐标系 (如图)，‎ 设． ‎ 所以 设平面的法向量为,根据，‎ 得，‎ 令，则． ‎ 平面的法向量可取， ‎ 由题， ，解得，‎ 所以线段的长为． ‎ 点睛：利用向量法求线面角的方法：‎ ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．即设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|。‎ ‎22．已知椭圆（），四点， ， ， 中恰有三点在椭圆上.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明： 过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性，得到， ， , 三点在椭圆C上．把点坐标代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程． （2）设直线l： ，，不设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 联立直线P2A与椭圆方程得 代入直线l方程： 中得，同理，所以易知k1,k2 ,是方程 两根，由韦达定理，即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由于p3，p4两点关于y轴对称，故由题设知C经过p3，p4两点，又由知，C不经过点 ，所以点在C上 因此 ,解得 故C的方程为 ‎ (2)由题设易知，直线l与x轴不平行，故可设方程为：，‎ 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2 ,‎ 联立直线P2A与椭圆方程 ‎ 即代入直线方程得.‎ 即代入直线l方程： 中，‎ 化简得：‎ 同理： ‎ 易知k1,k2 ,是方程 两根 故k1+k2 =‎ m=t+2‎ 即直线l为：‎ 即l过定点（2，-1）. ‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎