2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十九)　合情推理与演绎推理 5页

课时跟踪检测(三十九)　合情推理与演绎推理 一、选择题 ‎1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确　　　　　　　　 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)‎ A．1　　　　 B．‎2　‎　　　 C．3　　　 　D．4‎ ‎3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28 B．‎76 ‎ C．123 D．199‎ ‎4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)‎ A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2‎ B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数 C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的面积S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n ‎6．(2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是(　　)‎ A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)‎ 二、填空题 ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎ 7　8　9　10‎ ‎……‎ ‎7．(2015·福建厦门模拟)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：__________________________________________.‎ ‎8．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．‎ ‎9．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．‎ ‎10．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 三、解答题 ‎11．在锐角三角形ABC中，求证：‎ sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.‎ ‎12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 答案 ‎1．选C　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. ‎ ‎2．选B　①②正确，③④⑤⑥错误．‎ ‎3．选C　记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.‎ ‎4．选D　正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.‎ ‎5．选A　选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．‎ ‎6．选B　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.‎ ‎7．解析：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，‎ ‎∴＝.‎ 答案：＝ ‎8．解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝个，即个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.‎ 答案： ‎9．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.‎ 答案：S＋S＋S＝S ‎10．解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ 答案： ‎11．证明：∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A＋B＞，∴A＞－B，‎ ‎∵y＝sin x在上是增函数，‎ ‎∴sin A＞sin＝cos B，‎ 同理可得sin B＞cos C，sin C＞cos A，‎ ‎∴sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.‎ ‎12．解：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α ‎＝.‎ 法二：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎