高中数学 3_2第4课时课时同步练习 新人教A版选修2-1 6页

第3章 3.2 第4课时 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．在棱长为a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)‎ A.a　　　　　　　　　　 B.a C.a D.a 解析：　以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，‎ 则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M，B(a，a,0)，D(0,0,0)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量，‎ 则n·＝0，且n·＝0，‎ 而＝，＝.‎ 所以 所以 令z＝2，则n＝(－1,1,2)，＝(a,0，a)，‎ 则A1到平面BDM的距离是d＝＝a.‎ 答案：　A ‎2.如图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：　＝＋＋，‎ ‎∵||＝||＝1＝||，‎ 且·＝·＝·＝0.‎ 又∵2＝(＋＋)2，‎ ‎∴2＝3，‎ ‎∴AE的长为.故选B.‎ 答案：　B ‎3．若正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A‎1C1到底面ABCD的距离为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 解析：　‎ 如图，A‎1C1∥面ABCD，‎ 所以A‎1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与面ABCD所成的角是60°，AB＝1.‎ ‎∴BB1＝.‎ 答案：　D ‎4.如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，O是底面A1B‎1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　取B‎1C1的中点E，连结OE，则OE∥C1D1.‎ ‎∴OE∥面ABC1D1，‎ ‎∴O点到面ABC1D1的距离等于E点到平面ABC1D1的距离．‎ 过E作EF⊥BC1，易证EF⊥面ABC1D1‎ EF＝，∴点O到平面ABC1D1的距离为，故选B.‎ 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到BD的距离为________．‎ 解析：　作AE⊥BD于E，连结PE，‎ ‎∵PA⊥面ABCD.‎ ‎∴PA⊥BD ‎∴BD⊥面PAE BD⊥PE，‎ 即PE的长为点P到BD的距离 在Rt△PAE中，AE＝，‎ PE＝＝.‎ 答案：　 ‎6．如图所示，在直二面角α－l－β中，A，B∈l，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，AC＝6，AB＝8，BD＝24，则线段CD的长为________．‎ 解析：　∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，‎ ‎∴·＝0，·＝0，·＝0，‎ ‎∵＝＋＋，‎ ‎∴2＝(＋＋)2＝676，‎ ‎∴||＝26.‎ 答案：　26‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A‎1C的距离．‎ 解析：　‎ 如图所示，以A点为坐标原点，‎ 以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)，‎ 所以A‎1C的方向向量为＝(1,1，－1)，C1与直线A‎1C上一点C(1,1,0)的向量＝(0,0,1)‎ 所以在上的投影为：·＝－.‎ 所以点C1到直线A‎1C的距离d＝ ‎＝＝.‎ ‎8．已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．‎ 解析：　如图建立空间直角坐标系，‎ 则A(a,0,0)，E，F，G，‎ ‎∴＝，‎ ＝，‎ ＝，‎ 设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，‎ ‎∴d＝＝＝a.‎ 即点A到平面EFG的距离为a.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，‎ 侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为？‎ 解析：　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，‎ 设＝λ，λ∈(0,1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．‎ 又＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，‎ 则⇒，‎ 取x＝1，则y＝，z＝2，‎ 即n＝.‎ 由于d＝＝，‎ ‎∴＝ 又λ∈(0,1)，解得λ＝.‎ 所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.‎