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  • 2021-06-30 发布

数学理卷·2019届山东省寿光市第一中学高二12月月考试题(2017-12)

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‎2016级1部数学(理)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列条件中使与,,一定共面的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.设点,,若的周长为,则动点的轨迹方程是( )‎ A.() B.() C.() D.()‎ ‎3.已知向量,,若,则与的值可以是( )‎ A., B., C., D., ‎ ‎4.数列的首项为,为等差数列,且(),若,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.抛物线的准线方程是,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知椭圆()和双曲线()有相同的焦点,,是它们的一个交点,则的形状是( )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随,变化而变化 ‎7.在中,能使成立的充分必要条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知向量,,,若,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下列四个结论中正确的个数为( )‎ ‎① 命题“若,则”的逆命题是“若或,则”;‎ ‎②已知:,,:若,则,则为真命题;‎ ‎③命题“,”的否定是“,”;‎ ‎④“”是“”的必要不充分条件.‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设双曲线(,)的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆(),为椭圆上一动点,,分别为椭圆的左、右焦点,则线段的中点满足的曲线是( )‎ A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.线段 ‎12.若关于的不等式的解集中,恰有个整数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.双曲线的焦距是 .‎ ‎14.已知:,:,若是的充分条件,则实数的取值范围是 .‎ ‎15.已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的焦点,若双曲线与抛物线的交点满足,则双曲线的离心率为 .‎ ‎16.已知正四棱锥如图所示,在向量,,,,不能作为底面的法向量的是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知:,:.‎ ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围.‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎18. 的内角,,的对边分别为,,,已知.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为,求的周长.‎ ‎19. 如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点.‎ ‎(1)求异面直线与所成的余弦值;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20. 已知的一个顶点为抛物线的顶点,,两点都在抛物线上,且.‎ ‎(1)求证:直线必过一定点;‎ ‎(2)求证:面积的最小值.‎ ‎21. 在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为棱的中点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(3)若为的中点,棱上是否存在一点,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为,点与关于坐标原点对称,直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点,,且.‎ ‎(1)求点的横坐标.‎ ‎(2)若以,为焦点的椭圆过点 ‎(ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(ⅱ)过点作直线与椭圆交于,两点,设,若,求的取值范围.‎ 答案 一、选择题 ‎1-5:CAABB 6-10:BCCBD 11、12:AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①‎ 三、解答题 ‎17.解:①当时,‎ ‎:‎ ‎∵为真,∴,为真 ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎(2)∵是的充分不必要条件 ‎∴即 令 ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎18.解:(1)由已知及正弦定理得 即,故 可得,所以 ‎(2)由已知,,又,所以 由已知及余弦定理得 故,从而 所以的周长为 ‎19.解:(1)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,所以,‎ 因为.‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面的法向量为,易知,,所以,即且取,得,,所以.‎ 取平面的一个法向量为,设平面与平面所成二面角的大小为,‎ 则 所以 因此,平面与平面所成二面角的正弦值为 ‎20.解:(1)设所在的直线的方程为(),则直线的方程为.‎ 由,解得或,即点的坐标为 同理可求得点的坐标为 ‎∴当,即时,直线的方程为 化简并整理,得 当时,恒有 当,即时,直线的方程为,过点.‎ 故直线过定点.‎ ‎(2)由于直线过定点,记为点,所以可设直线的方程为.‎ 由,消去并整理得,‎ ‎∴,‎ 于是 ‎∴当时,的面积取得最小值,为 ‎21.(1)证明:因为底面,所以 因为,所以平面,由于平面,所以 ‎(2)存在,以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 不妨设,则,,,.‎ 又点为棱的中点,∴,‎ ‎∴,,‎ 设为平面的法向量,则即 不妨令,可得为平面的一个法向量,所以,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎(3)由(2)可知,,.‎ ‎∵为的中点,‎ ‎∴,∴‎ 设(),‎ 则,由,得,‎ ‎∴,∴‎ 所以 ‎22.解:(1)由题意,得,,‎ 设,,则,,‎ 由 得,即,①‎ 又在抛物线上,则,②‎ 联立①②易得,则点的横坐标为.‎ ‎(2)(ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意,得 设椭圆的标准方程为(),‎ 则,③‎ ‎,④‎ 将④代入③,解得或(舍去)‎ 所以 故椭圆的标准方程为.‎ ‎(ⅱ)由题意分析知直线的斜率不为,‎ 设直线的方程为 将直线的方程代入中,得 设,,,则由根与系数的关系,‎ 可得,⑤‎ ‎⑥‎ 因为,所以,且.‎ 将⑤式平方除以⑥式,‎ 得 由,所以 因为,‎ 所以.‎ 又,所以 故 令,因为 所以,即,‎ 所以 而,所以 所以