数学理卷·2019届山东省寿光市第一中学高二12月月考试题（2017-12） 9页

‎2016级1部数学（理）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列条件中使与，，一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.设点，，若的周长为，则动点的轨迹方程是（ ）‎ A．（） B．（） C．（） D．（）‎ ‎3.已知向量，，若，则与的值可以是（ ）‎ A．， B．， C．， D．， ‎ ‎4.数列的首项为，为等差数列，且（），若，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点，，是它们的一个交点，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．随，变化而变化 ‎7.在中，能使成立的充分必要条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知向量，，，若，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.下列四个结论中正确的个数为（ ）‎ ‎① 命题“若，则”的逆命题是“若或，则”；‎ ‎②已知：，，：若，则，则为真命题；‎ ‎③命题“，”的否定是“，”；‎ ‎④“”是“”的必要不充分条件.‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知椭圆（），为椭圆上一动点，，分别为椭圆的左、右焦点，则线段的中点满足的曲线是（ ）‎ A．椭圆 B．圆 C.双曲线的一支 D．线段 ‎12.若关于的不等式的解集中，恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.双曲线的焦距是 ．‎ ‎14.已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的焦点，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知正四棱锥如图所示，在向量，，，，不能作为底面的法向量的是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知：，：.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18. 的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成的余弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20. 已知的一个顶点为抛物线的顶点，，两点都在抛物线上，且.‎ ‎（1）求证：直线必过一定点；‎ ‎（2）求证：面积的最小值.‎ ‎21. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若为的中点，棱上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎22.已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，，且.‎ ‎（1）求点的横坐标.‎ ‎（2）若以，为焦点的椭圆过点 ‎（ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若，求的取值范围.‎ 答案 一、选择题 ‎1-5:CAABB 6-10:BCCBD 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①‎ 三、解答题 ‎17.解：①当时，‎ ‎：‎ ‎∵为真，∴，为真 ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵是的充分不必要条件 ‎∴即 令 ‎∴∴‎ ‎∴‎ ‎18.解：（1）由已知及正弦定理得 即，故 可得，所以 ‎（2）由已知，，又，所以 由已知及余弦定理得 故，从而 所以的周长为 ‎19.解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，‎ 因为.‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）设平面的法向量为，易知，，所以，即且取，得，，所以.‎ 取平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角的大小为，‎ 则 所以 因此，平面与平面所成二面角的正弦值为 ‎20.解：（1）设所在的直线的方程为（），则直线的方程为.‎ 由，解得或，即点的坐标为 同理可求得点的坐标为 ‎∴当，即时，直线的方程为 化简并整理，得 当时，恒有 当，即时，直线的方程为，过点.‎ 故直线过定点.‎ ‎（2）由于直线过定点，记为点，所以可设直线的方程为.‎ 由，消去并整理得，‎ ‎∴，‎ 于是 ‎∴当时，的面积取得最小值，为 ‎21.（1）证明：因为底面，所以 因为，所以平面，由于平面，所以 ‎（2）存在，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 不妨设，则，，，.‎ 又点为棱的中点，∴，‎ ‎∴，，‎ 设为平面的法向量，则即 不妨令，可得为平面的一个法向量，所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎（3）由（2）可知，，.‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴，∴‎ 设（），‎ 则，由，得，‎ ‎∴，∴‎ 所以 ‎22.解：（1）由题意，得，，‎ 设，，则，，‎ 由 得，即，①‎ 又在抛物线上，则，②‎ 联立①②易得，则点的横坐标为.‎ ‎（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意，得 设椭圆的标准方程为（），‎ 则，③‎ ‎，④‎ 将④代入③，解得或（舍去）‎ 所以 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（ⅱ）由题意分析知直线的斜率不为，‎ 设直线的方程为 将直线的方程代入中，得 设，，，则由根与系数的关系，‎ 可得，⑤‎ ‎⑥‎ 因为，所以，且.‎ 将⑤式平方除以⑥式，‎ 得 由，所以 因为，‎ 所以.‎ 又，所以 故 令，因为 所以，即，‎ 所以 而，所以 所以