专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 26页

‎【高考地位】‎ 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 分段函数 使用情景：分段函数 解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；‎ 第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 函数 ，若实数a满足=1，则实数a的所有取值的和为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：1．函数的表示；2．函数与方程；3．分类讨论思想．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的求值问题，以学生熟悉的对数函数和二次函数为载体，渗透了分类讨论的思想，考查了学生基本运算能力和分类思想的培养.‎ ‎【变式演练1】在函数 中，若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：当 时，；当时，；当时，（舍）.‎ 考点：本题考查函数性质 例2 已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C 考点：1．分段函数；2．函数的单调性．‎ 点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.‎ ‎【变式演练2】函数，若函数在区间（，+1）上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）‎ A.（-，1 B.[1, 4] C.4, +） D.(-,1∪[4, +）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，函数在，上为单调递增，所以有或，即实数的取值范围为.故正确答案为D 考点：分段函数单调性的应用. ‎ 例3 若是的最小值，则的取值范围为（ ）.‎ ‎ (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) ‎【答案】D ‎【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．‎ 考点：分段函数的单调性与最值问题．‎ ‎【变式演练3】已知函数，则 ，的最小值是 ．‎ ‎【答案】，.‎ 考点：分段函数 类型二 含参数函数的最值问题 使用情景：含参函数在区间上的最值问题 解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置；‎ 第二步 通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；‎ 第三步 根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值；‎ 第四步 得出结论.‎ 例4已知函数是二次函数，且满足， ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，试将的最大值表示成关于t的函数．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．‎ ‎【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．‎ ‎【变式演练4】已知函数，‎ ‎（1）求在区间的最小值；（2）求在区间的值域 ‎【答案】（1）（2）当时值域为[2-2a，5+2a]，当时值域为，当时值域为[5+2a，2-2a].‎ 考点：二次函数的性质.‎ ‎【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.‎ 例5.设函数．‎ ‎（1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值；‎ ‎（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当，,对称轴为．所以的最大值，即可得到的最小值．（2）显然．．然后再对，和进行分类讨论，借助函数的单调 ‎ （2）显然．．①当时，只需满足由及，得，与矛盾．②当时，只需满足由，得，∴，与矛盾．③当时，只需满足由①，②得．由②，③得，又，∴，即，再结合②得，④∴．当 时，由④得，此时满足①，②，③及．‎ 综上所述，的最大值为，此时．‎ 考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．‎ ‎【变式演练5】记函数（，，均为常数，且）．‎ ‎（1）若，（），求的值；‎ ‎（2）若，时，函数在区间上的最大值为，求．‎ ‎【答案】（1）4 （2） ‎（2）当，时，‎ ，，‎ ‎①当时，时，‎ 在区间上单调递增，‎ 所以； ‎ ‎②当时，‎ Ⅰ．若，即时，‎ 在区间上单调递增，‎ 所以； ‎ Ⅱ．若，即时，‎ 在区间上单调递减，‎ 所以； ‎ Ⅲ．若，即时，‎ 在区间上单调递增，上单调递减，‎ 所以． ‎ 综上可得：．‎ 考点：1．求函数解析式与函数求值；2．二次函数单调性与最值；3．分情况讨论.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017山东文】设,若,则 ‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎ 2.【2017天津理】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎ 当时，(*)式为，，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎【考点】不等式、恒成立问题 ‎【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. ‎ ‎3.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 考点：充分必要条件.‎ ‎【方法点睛】解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．‎ ‎4.【2015高考山东，文10】设函数，若，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 【答案】 ‎【解析】由题意，由得，或，解得 ，故选.‎ ‎【考点定位】1.分段函数；2.函数与方程.‎ ‎【名师点睛】本题考查了分段函数及函数方程思想，解答本题的关键，是理解分段函数的概念，明确函数值计算层次，准确地加以计算.本题属于小综合题，在考查分段函数及函数方程思想的同时，较好地考查了考生的运算能力及分类讨论思想.‎ ‎5. 【2015高考陕西，文4】设，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】 ‎ 6. 【2015高考新课标1，文10】已知函数 ，且，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，‎ 当时，，解得，∴=，故选A.‎ 考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质 ‎【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.‎ ‎7．全*品*高*考*网， 用后离不了！【2015高考天津，文8】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）‎ ‎(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.‎ ‎【名师点睛】本题解法采用了直接解方程求零点的方法,这种方法对运算能力要求较高.含有绝对值的分段函数问题,一直是天津高考数学试卷中的热点,这类问题大多要用到数形结合思想与分类讨论思想,注意在分类时要做到:互斥、无漏、最简.‎ ‎8.【2014重庆文第10题】已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 令，则问题转化为与的图象在内有且仅有两个交点；是一个分段函数，的图象是过定点的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，由图可知，或,故选A.‎ 考点：1、分段函数；2、函数的零点；3、数形结合的思想.‎ ‎【名师点睛】本题考查了分段函数的图象，函数的零点，数形结合的思想，本题属于中档题，注意转化思想的应用.‎ ‎9. 【2014，安徽文9】若函数的最小值3，则实数的值为 （ ）‎ A．5或8 B．或5 C． 或 D．或 ‎【答案】D．‎ 考点：1．绝对值函数的最值；2．分类讨论思想应用．‎ ‎【名师点睛】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用绝对值的几何意义解题会加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.‎ ‎10.【2017浙江】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． ‎ ‎【答案】 ‎ 11. 【2016高考山东文数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 画出函数图象如下图所示：‎ ‎ 12.【2015高考湖北，文17】a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.‎ ‎【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出的表达式和分段函数在区间上的最值求法.‎ ‎13.【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】据题意解得．‎ ‎【名师点晴】研究函数三个思想1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题 ‎14.【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.‎ （1） 证明：当时，；‎ ‎（2）当，满足，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）分析题意可知在上单调，从而可知 ，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ，再由可得，‎ ，即可得证.‎ ‎【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对 函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会 结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的 逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2017-2018学年全国18名校大联考高三第二次联考数学（理科）】设函数且，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 6‎ ‎【答案】C ‎ 2．【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考数学试题】已知函数 则 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】 又 故答案选 ‎3．【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研数学（理）试题】已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出函数f(x)的图象如图，‎ 若m0得1