数学·甘肃省兰州市第一中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含解析 16页

‎2017届甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试理科数学试卷 一、单选题（共12小题）‎ ‎1．若集合，，则（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，若是实数，则实数的值为（   ）‎ A．0 B． C．-6 D．6‎ ‎3．以下判断正确的是（   ）‎ A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件 B．命题“”的否定是“”‎ C．“”是“函数是偶函数”的充要条件 D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题 ‎4．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（   ）‎ A．120cm3 B．100cm3 C．80cm3 D．60cm3‎ ‎5．由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为（   ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎6．设等差数列的前项和为，若，，，则（   ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（   ）‎ A．4 B．5 C．2 D．3‎ ‎8．设，则（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数，则的图象大致为（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆: 的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（   ）‎ A．-6 B．-7 C．-8 D．-9‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.已知向量，，则       ．‎ ‎14.已知，则        ．‎ ‎15.已知满足约束条件若的最小值为1，则        ．‎ ‎16.在中，内角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为        ．‎ 三、解答题（共7小题）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．‎ ‎19.随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示．‎ 已知分3期付款的频率为0．15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．‎ ‎（Ⅰ）求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望．‎ ‎20.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点 ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（i）求的取值范围；‎ ‎（ii）设两个极值点分别为，证明:．‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．‎ ‎23.已知函数，且的解集为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证：．‎ 答案部分 ‎1.考点：集合的运算 试题解析：因为，，所以，所以选A 答案：A ‎   ‎ ‎2.考点：复数综合运算 试题解析：因为 是实数，所以，所以 答案：D ‎   ‎ ‎3.考点：全称量词与存在性量词充分条件与必要条件 试题解析：A：如，令得不是函数的极值点，所以A不对；‎ B：命题“”的否定应该是 C：根据诱导公式，前后能互推，所以C正确；‎ D：在中，若，则是真命题，所以D不对．‎ 所以选C 答案：C ‎   ‎ ‎4.考点：空间几何体的三视图与直观图 试题解析：直观图如图所示：‎ 答案：B ‎   ‎ ‎5.考点：积分 试题解析：根据题意作图如下：‎ 由 得 ，所以 所以 答案：C ‎   ‎ ‎6.考点：等差数列 试题解析：因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为 当 时，，代入上式得．‎ 答案：C ‎   ‎ ‎7.考点：算法和程序框图 试题解析：初始：‎ 第一次循环：‎ 第二次循环：‎ 第三次循环：‎ 第四次循环： 输出 答案：A ‎   ‎ ‎8.考点：对数与对数函数 试题解析：因为，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以 答案：C ‎   ‎ ‎9.考点：函数图象 试题解析：令得排除D； 令得排除C;‎ 又因为排除B，所以选A．‎ 答案：A ‎   ‎ ‎10.考点：三角函数图像变换 试题解析：因为 向右平移个单位后为，‎ 由题意得：，所以．‎ 答案：B ‎   ‎ ‎11.考点：椭圆 试题解析：由题意作图如下：‎ 由直线斜率为得 所以，所以 因为所以 所以 所以 答案：D ‎   ‎ ‎12.考点：函数综合 试题解析：由已知得：，函数的周期为2，图象如下：‎ 由图象知：在区间上两函数有3个交点，其中一个由图象可得为（-3，1），另外两个交点关于对称，所以另外两个交点横坐标之和为 所以所有实根之和为．‎ 答案：B ‎   ‎ ‎13.考点：平面向量坐标运算 试题解析：由题意得，所以，解得．‎ 答案：-3‎ ‎   ‎ ‎14.考点：半角公式倍角公式 试题解析：‎ 答案：‎ ‎   ‎ ‎15.考点：线性规划 试题解析：‎ 如图：当目标函数经过点时，最小值为1，所以所以．‎ 答案：‎ ‎   ‎ ‎16.考点：解斜三角形 试题解析：由已知及正弦定理得：‎ 又所以 所以 所以 因为所以 因为，所以 所以 由已知及余弦定理得：‎ 又因为所以 所以 答案：‎ ‎   ‎ ‎17.考点：三角函数综合 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎∴的最小正周期为，‎ 令，则，‎ ‎∴的对称中心为 ‎（Ⅱ）∵ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴当时，的最小值为-1；当时，的最大值为2．‎ 答案：见解析 ‎   ‎ ‎18.考点：立体几何综合 试题解析：（Ⅰ）连接交于，连接．‎ ‎∵平面，面，面面 ‎∴‎ 又∵为的中点，‎ ‎∴为中点，∴为中点 ‎∴，∴‎ ‎（Ⅱ）∵在直三棱柱中，‎ ‎∴‎ 以为坐标原点，以，  所在直线建立空间直角坐标系如图所示 由（Ⅰ）知为中点 ‎∴点坐标分别为 ‎，，，‎ 设平面的法向量 ‎∵且 ‎ ‎∴取 ∴‎ 同理：平面的法向量 设二面角平面角为 则，∴‎ 答案：见解析 ‎   ‎ ‎19.考点：随机变量的期望与方差 试题解析：（Ⅰ）由，得因为所以 ‎（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则 的所有可能取值为1000，1500，2000．‎ 所以的分布列为 答案：见解析 ‎   ‎ ‎20.考点：圆锥曲线综合 试题解析：（Ⅰ）解法一：设，，把代入得，‎ 得．‎ ‎∵，点的坐标为．‎ ‎∵∴，‎ 即抛物线在点处的切线的斜率为．‎ ‎∵直线:的的斜率为，∴．‎ 解法二：设，，把代入得，‎ 得．‎ ‎∵，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，，‎ ‎，即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．‎ 是的中点，．‎ 由（Ⅰ）知　‎ 轴， ．‎ ‎∵‎ ‎，∴，‎ 故存在实数，使为直径的圆经过点．‎ 答案：见解析 ‎   ‎ ‎21.考点：导数的综合运用 试题解析：（Ⅰ）当时，；‎ 函数的定义域为，‎ 当时，；当时，．‎ 所以，在上单调递减；在上单调递增．‎ ‎（Ⅱ）（i）依题意，函数的定义域为，‎ 所以方程在有两个不同根．‎ 即，方程在有两个不同根．‎ ‎（解法一）转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．‎ 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，‎ 只须．‎ 令切点，所以，又，所以，‎ 解得，，于是，‎ 所以．‎ ‎（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，‎ 而 若，可见在上恒成立，所以在单调增，‎ 此时不可能有两个不同零点．‎ 若，在时，，在时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减，‎ 从而 又因为在时，，在时，，于是只须：‎ ‎，即，所以．‎ 综上所述，．‎ ‎（ii）由（i）可知分别是方程的两个根，‎ 即，，‎ 不妨设，作差得，，即．‎ 原不等式等价于 令，则，‎ 设，，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即不等式成立，‎ 故所证不等式成立．‎ 答案：见解析 ‎   ‎ ‎22.考点：极坐标方程曲线参数方程 试题解析：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得 由得，曲线的直角坐标方程为 ‎（2）设，则点到曲线的距离为 当时，有最小值0，所以的最小值为0．‎ 答案：见解析 ‎   ‎ ‎23.考点：不等式证明 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以等价于，‎ 由有解，得，且其解集为．‎ 又的解集为，故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，‎ ‎∴≥=9．（或展开运用基本不等式）‎ ‎∴‎ 答案：见解析 ‎    ‎