专题8-7+立体几何中的向量方法（Ⅰ）—证明平行与垂直（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 17页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第八章 立体几何 第07节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1. 已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为 A．‎ B．‎ C．与相交不垂直 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，而点不在内，故 ‎2.【浙江省杭州市萧山区第一中学月考】若a‎=(2,-1,0)‎，b‎=(3,-4,7)‎，且‎（λa+b)⊥‎a，则λ的值是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎3. 已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)‎ A.，－，4 B.，－，4‎ C.，－2,4 D．4，，－15‎ ‎【答案】B ‎4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．∵A1M＝AN＝a，‎ ‎∴M(a，a，)，N(a，a，a)．∴＝(－，0，a)．‎ 又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)．‎ ‎∴·＝0.∴⊥.‎ ‎∵是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，‎ ‎∴MN∥平面BB1C1C.‎ ‎5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 (　　)‎ A．(1，1，1) 　　 B. C. 　　 D. ‎【答案】　C ‎6. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为 (　　)‎ A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 ‎【答案】　C ‎【解析】　以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，‎ 依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．‎ ‎∴＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，‎ ＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，‎ ‎∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，‎ 即⊥，∴AM⊥PM.‎ ‎7. 已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎8. 如图，正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 ‎【答案】B ‎【解析】以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，‎ ＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，‎ ＝，＝(－1，－1,1)，‎ ＝－，·＝·＝0，‎ 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.‎ ‎9. 已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是 （ ）‎ B A C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎10. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为 (　　)‎ A．a2 B.a‎2 ‎ C.a2 D.a2‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　如图，设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.‎ ＝(a＋b)，＝c，‎ ‎∴·＝(a＋b)·c ‎＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.‎ ‎11. 已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是 (　　)‎ A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)‎ C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　逐一验证法，对于选项A，＝(1，4，1)，‎ ‎∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，‎ ‎∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．‎ ‎12.【甘肃西北师大附中高三11月月考】已知等差数列的前n项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）‎ A． B．(2，4) C． D.（-1，-1）‎ ‎【答案】A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13. 设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2, 4, －8)垂直，则平面α与β位置关系是______ __．‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】因为，所以。因为平面与向量垂直，所以平面与向量也垂直。而平面与向量垂直，所以可得.‎ ‎14.给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.‎ 其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】对于①，∵=（1，-1，2），=（2，1，-12），∴•=1×2-1×1+2×（-）=0，‎ ‎∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；‎ 对于②，=（0，1，-1），=（1，-1，-1），∴•=0×1+1×（-1）+（-1）×（-1）=0，‎ ‎∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；‎ 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；‎ 对于④，∵点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），∴=（-1，1，1），=（-1，1，0），‎ 向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．‎ 综上，以上真命题的序号是①④．‎ ‎15.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. ‎ ‎【答案】a或2a ‎【解析】法一：由已知得B1D⊥平面AC1，‎ 又CF⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，‎ 故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.‎ 设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，‎ DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，‎ ‎∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，‎ 解得x＝a或2a.‎ 法二：分别以BA、BC、BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，‎ 则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，设F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，‎ ‎＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，‎ ‎∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，‎ 可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.‎ ‎16.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是________．‎ ‎【答案】　①②③‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：‎ ‎(1)EF∥平面PAB；‎ ‎(2)平面PAD⊥平面PDC.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，‎ ‎∴E，F，‎ ＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，‎ ＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．‎ ‎∵＝－，∴∥，即EF∥AB，‎ 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.‎ ‎(2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，‎ ·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.‎ 又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.‎ ‎∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：面PAC⊥面PCD；‎ ‎(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥面PAB？若存在，请确定E点的位置；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在E点使CE∥面PAB，此时E为PD的中点.‎ ‎ ‎ ‎(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ ‎∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，‎ ‎,‎ ‎∥,∴y·(－1)－2(z－1)＝0①‎ ‎∵是平面PAB的法向量，‎ 又，CE∥面PAB.‎ ‎.‎ ‎∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.‎ 将y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中点，‎ ‎∴存在E点使CE∥面PAB，此时E为PD的中点．‎ ‎19. （本小题满分12分）【2018届湖北省部分重点中学高三起点】在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直 角梯形， 为直角， ∥， ，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用线面垂直的性质定理推证；（2）建立坐空间直角坐标系，运用空间向量求解：‎ ‎（1）∵底面为直角梯形， ， ，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面， 平面，‎ ‎∴，‎ 设，以所在直线分别为轴建立如图坐标系，‎ 则， ， ， ， ， ，‎ ‎∵，∴.‎ ‎20.（本小题满分12分）如图所示,在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M是AB上一点,N是A‎1‎C的中点.‎ ‎（1）求证:AD‎1‎⊥‎平面A‎1‎DC；‎ ‎（2） 若MN⊥‎平面A‎1‎DC,求证:M是AB的中点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由正方形的性质可得AD‎1‎⊥A‎1‎D，再由线面垂直的性质可得AD‎1‎⊥CD，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）以D为原点，DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴，建立坐标系，设M‎1,y‎0‎,0‎,MN=‎‎-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎-y‎0‎,‎‎1‎‎2‎，由（1）知AD‎1‎是平面AD‎1‎法向量，由MN‎//‎AD‎1‎解出y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎，即可得结论.‎ 试题解析：（1）‎∵AA‎1‎D‎1‎D是正方形，‎∴AD‎1‎⊥A‎1‎D，又‎∵CD⊥‎平面AA‎1‎D‎1‎D,AD‎1‎⊂‎平面AA‎1‎D‎1‎D，‎∴AD‎1‎⊥CD，而A‎1‎D,CD在平面A‎1‎DC内相交，‎∴AD‎1‎⊥‎平面A‎1‎DC 因为AD‎1‎⊂‎平面，所以平面AD‎1‎C ‎⊥‎平面A‎1‎DC.‎ ‎(2)以D为原点，DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴，建立坐标系，则A‎1,0,0‎,D‎0,1,0‎,D‎1‎‎0,0,1‎,A‎1‎‎1,0,1‎,N‎1‎‎2‎‎,‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎，‎AD‎1‎‎=‎-1,0,1‎,‎ 设M‎1,y‎0‎,0‎,MN=‎‎-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎-y‎0‎,‎‎1‎‎2‎，由（1）知，AD‎1‎是平面AD‎1‎法向量，‎ MN⊥‎平面A‎1‎DC,‎∴MN//‎AD‎1‎，可得y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎，‎∴M是AB的中点.‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，长方体中，，点 是的中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎（本大题请用向量法解决，否则判零分）‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）120°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面BCE；（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大小 试题解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），C（0，2，0），＝（0，1，1），＝（－1，－1，1），＝（－1，0，0）．‎ 因为·＝0，·＝0，‎ 所以⊥，⊥．‎ 则DE⊥BE，DE⊥BC．‎ 因为BEÌ平面BCE，BCÌ平面BCE，BE ∩BC＝B，‎ 所以DE⊥平面BCE． ‎ ‎22．（本小题满分12分）已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求的坐标，计算两向量的数量积；（2）求的坐标，利用两向量夹角的余弦值计算．‎ 试题解析：（1）以为原点，以为的正半轴建立空间直角坐标系，，所以，，,所以．‎ ‎（2），，，‎ ‎，所以异面直线与所成角的余弦值是.‎ ‎ ‎