数学（理）卷·2017届河北省衡水中学高三上学期六调考试（2017 12页

‎2016-2017学年度上学期高三年级六调考试 理数试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知,则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知命题，则是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎3.已知是奇函数，且，当时，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.如图，若时，则输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为120°，则的离心率为 （ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎8. 已知满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． -6 B．-3 C. -4 D．-2‎ ‎9. 已知向量满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线及所围成的阴影部分的面积 ‎①先产生两组的增均匀随机数，；‎ ‎②产生个点，并统计满足条件的点的个数，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当时，，则据此可估计的值为 ．（保留小数点后三位）‎ ‎14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为 ．（实际面积-弧田面积）‎ ‎15.已知满足，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得 ．‎ ‎16.已知三棱锥平面，其中，，四点均在球的表面上，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 如图，在中，是边上一点．‎ ‎（1）求中，是边上一点；‎ ‎（2）若的面积为4，为锐角，求的长．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 四棱锥中，底面为直角梯形，，，‎ ‎，且平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎5‎ ‎0.05‎ 第二组 ‎35‎ ‎0.35‎ 第三组 ‎30‎ ‎0.30‎ 第四组 ‎20‎ ‎0.20‎ 第五组 ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；‎ ‎（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在中的学生数为，‎ 求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率；‎ ‎②的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．‎ ‎（1）判断的形状，并求抛物线的方程；‎ ‎（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；‎ ‎（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，‎ ‎），射线与曲线交于（不包括极点）三点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，两点在曲线上，求与的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ABDDC 6-10: CACBD 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 1.328 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵在中，，‎ ‎∴由余弦定理，得 ‎，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎∴,‎ ‎∴的面积的最大值为；‎ ‎（2）设，在中，‎ ‎∵的面积为4，为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ∴，‎ 由余弦定理，得，‎ ‎∴．‎ 由正弦定理，得，∴， ∴，‎ 此时， ∴，‎ ‎∴的长为4．‎ ‎18.解：（1）过点作，交于，连接．‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形是矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面， ∴平面．‎ 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，假设存在点，使得二面角的大小为 ‎，‎ 则．‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ ‎∴，令，得，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴为平面的一个法向量．‎ ‎∴，‎ 解得，∴．‎ ‎19.解：（1）本次月考数学学科的平均分为 ‎；‎ ‎（2）由表，知成绩落在中的概率为，‎ ‎①设表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中”．‎ 则，‎ 所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在中的概率为；‎ ‎②的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，或，则．‎ ‎20.解：（1）设，‎ 则切线的方程为，且，‎ 所以，‎ ‎，所以，‎ 所以为等腰三角形，且为的中点，‎ 所以，因为，‎ 所以，所以，得，‎ 所以抛物线方程为；‎ ‎（2）由已知，得的坐标分别为，设，‎ 的中垂线方程为，①‎ 的中垂线方程为，②‎ 联立①②，解得圆心坐标为 ：，‎ 由，得，‎ 因为，所以，‎ 所以点坐标为．‎ ‎21.解：（1）当时，，‎ ‎∴在处的切线斜率，‎ 由，得，∴，∴．‎ ‎（2）易知函数的定义域为，‎ 又，‎ 由题意，得的最小值为负，‎ ‎∴．（注：结合函数图象同样可以得到），‎ ‎∴‎ ‎∴，∴；‎ ‎（3）令，其中，‎ 则，‎ 则，‎ 则，‎ ‎∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，‎ 即，可得，（*）‎ 则在区间内单调递增，在区间内单调递减，‎ ‎∴，，‎ 将（*）式代入上式，得．‎ 根据题意恒成立，‎ 又∵，当且仅当时，取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴，代入（*）式，得，‎ 即，又，‎ ‎∴，∴存在满足条件的实数，且．‎ ‎22.解：（1）依题意，，‎ 则 ‎；‎ ‎（2）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，‎ 曲线是经过点，且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，‎ 所以．‎ ‎23.解：（1）不等式，化为，‎ 则或或，‎ 解得，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）不等式等价于，‎ 即，又，‎ 若存在实数，使得不等式成立，‎ 则，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎