数学理卷·2017届黑龙江省大庆一中高三上学期第三阶段测试（2016 8页

大庆一中高三年级上学期第三阶段测试 数学（理）试卷 出题人: 许昊宁 审题人: 毕敬业 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集U＝R，集合，集合，则 ‎( )‎ ‎ ‎ ‎2．若复数，则复数的模( )‎ ‎ ‎ ‎3．已知向量，若，则( ) ‎ ‎ ‎ ‎4．已知，则( )‎ ‎ ‎ ‎5．在各项均为正数的等比数列中，和为方程的两根，则( )‎ ‎ ‎ ‎6．若，函数在处有极值，则的最大值为( )‎ ‎ ‎ ‎7．已知函数 的最小正周期为, 将该函数的图象向左平移个单位后, 得到的图象对应的函数为奇函数, 则函数的图象( )‎ ‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 ‎ ‎ C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎8．若实数满足，则称是函数的一个次不动点，设函数与函数( 其中为自然对数的底数) 的所有次不动点之和为，则( )‎ ‎ ‎ ‎9．函数的零点个数为( )‎ ‎10．给出下列说法，其中正确的个数是( )‎ ‎ ① 命题“若，则”的否命题是假命题；‎ ‎ ② 命题，使，则；‎ ‎ ③ 是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎ ④ 命题，使”，命题中，若，则”，那么命题为真命题.‎ ‎11．若是△的重心，分别为角的对边，且，则=( )‎ ‎ ‎ ‎12．数列满足，则的大小关系为( )‎ ‎ 大小关系不确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在横线上。‎ ‎13．若等差数列{ an }的前5项和=25，且，则 ‎ ‎14．设(为自然对数的底数)，则 的值为　　　　　 ‎ 15． 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的 两个观测点与，测得，，米，‎ 并在测得塔顶的仰角为，则塔的高度__________米．‎ ‎16．已知函数，则满足 的实数的取值范围为_______________________‎ 三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知向量，，其中，函数，其最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ) 求函数的表达式及单调递增区间； ‎ ‎(Ⅱ) 在△中，分别为角的对边，为其面积，若，，，求的值.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18．（本小题满分12分） 等差数列中，，，其前项和为.‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设数列满足，其前n项和为，求证：．‎ ‎19．（本小题满分12分） 如图，正方形与直角梯形所 在平面互相垂直，，，.‎ ‎(Ⅰ) 求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求平面与平面所成角的正切值．‎ ‎20．（本小题满分12分）在直角坐标平面内，已知点，，是平面内一动点，直线、斜率之积为．‎ ‎(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 求函数的最小值；‎ ‎(Ⅱ) 若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；‎ ‎(Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下，证明：．‎ 请考生在第 (22) 、(23) 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是( t 是参数)，圆C的极坐标方程是．‎ ‎(Ⅰ) 求圆的圆心C的直角坐标；‎ ‎(Ⅱ) 由直线上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设实数满足．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(Ⅰ) 若， 求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 若， 且， 求的最大值． ‎ 大庆一中高三年级上学期第三阶段测试 数学（理）试卷答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A A B D【来源：全,品…中&高*考+网】‎ D B B C A C ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．(Ⅰ) 因为 ‎，其最小正周期为，所以，得，所以.‎ 由，得，‎ 所以函数的单调递增区间为 ‎(Ⅱ) 因为，，所以，，‎ 则，得，‎ 所以由余弦定理得 ‎18．解：(Ⅰ) 因为，‎ ‎，即，得， ， ‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ) ， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎19．解：(Ⅰ) 证明：方法一：设，取中点，连结，‎ 则∥且＝， ∵，，‎ ‎∴∥且＝，∴是平行四边形，∴. ‎ ‎∵平面，平面，∴平面，即平面.‎ 方法二：∵，∴‎ ‎∵正方形与直角梯形所在平面互相垂直，平面平面，平面，∴平面【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，‎ 则，而，∴，‎ 令，则，，. ‎ ‎∵， ∴，∴，‎ 而平面，∴平面. ‎ ‎(Ⅱ) 设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角 由 (Ⅰ) 知平面的法向量为，‎ 又平面与轴垂直，所以平面的法向量可取为 所以，所以即为所求.‎ ‎20. 解： (Ⅰ) 设点的坐标为，依题意，有 . ‎ 化简并整理，得.∴ 动点的轨迹的方程是. ‎ ‎(Ⅱ) 解：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,‎ 由方程组 消去，并整理得，恒成立，‎ 设，，则，‎ ‎∴ ∴，,‎ ‎(1) 当时，； ‎ ‎(2) 当时， ，‎ ‎， ， 且 . ‎ 综合 (1)、(2) 可知直线的斜率的取值范围是：.‎ ‎21．解：(Ⅰ) 由题意，由得.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴在单调递减，在单调递增.‎ 即在处取得极小值，且为最小值，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 其最小值为 ‎(Ⅱ) 对任意的恒成立，即在上，.‎ 由(Ⅰ)，设，所以， ‎ 由得.‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ ‎∴在处取得极大值. 因此的解为，∴.‎ ‎(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，因为，所以对任意实数均有，即.‎ 令，则，‎ ‎∴，即 ‎ ‎∴‎ ‎. ‎ ‎22．解：(Ⅰ) ，, ‎ ‎∴ 圆C的直角坐标方程为， 即，‎ ‎∴ 圆心的直角坐标为. ‎ ‎(Ⅱ) 方法一： 直线上的点向圆C 引切线长是 ‎ ‎ ‎∴ 直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是 ‎ 方法二： 直线的普通方程为，圆心C到直线距离为，‎ ‎∴ 直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 ‎ ‎23 解：(Ⅰ) 由得，即，所以，‎ 可化为， 即， 解得， 所以的取值范围. ‎ ‎(Ⅱ) 因为, 所 ‎ 当且仅当时，等号成立．故的最大值为27. ( 也可用导数方法求解 )‎