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- 2021-06-30 发布
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专题三 三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角函数的定义、三角恒等交换
1,4,7
三角函数的图象及应用
3,10
三角函数的性质及应用
2,5,6,11
综合问题
8,9,12,13
重点把关
1.(2016·榆林一模)已知α∈(,π),且sin(π+α)=-,则tan α等于( A )
(A)- (B) (C) (D)-
解析:因为α∈(,π),sin(π+α)=-sin α=-,
即sin α=,
所以cos α=-=-,
则tan α==-,
故选A.
2.(2016·湖南衡阳一模)已知角的终边经过点P(-4,3),函数f(x)
=sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f()的值为( D )
(A) (B) (C)- (D)-
解析:由题意得ω=2,cos =-,
所以f()=sin(2×+)=cos =-,选D.
3.(2016·四川卷,文4)为了得到函数y=sin(x+)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )
(A)向左平行移动个单位长度
(B)向右平行移动个单位长度
(C)向上平行移动个单位长度
(D)向下平行移动个单位长度
解析:由y=sin x图象上所有的点向左移动个单位长度就得到函数y=sin(x+)的图象,故选A.
4.(2016·河南郑州一模)函数f(x)=sin 2x+tancos 2x的最小正周期为( B )
(A) (B)π (C)2π (D)4π
解析:函数f(x)=sin 2x+tancos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+)的最小正周期为=π.故选B.
5.(教材拓展)函数y=sin(-2x)的单调递减区间是( D )
(A)[-kπ+,-kπ+],k∈Z
(B)[2kπ-,2kπ+],k∈Z
(C)[kπ-,kπ+],k∈Z
(D)[kπ-,kπ+],k∈Z
解析:函数y=sin(-2x)=-sin(2x-)的单调递减区间,即函数y=sin(2x-)的单调递增区间.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
求得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数y=sin(2x-)的单调递增区间,即函数y=sin(-2x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.故选D.
6.(2016·河南开封一模)已知函数f(x)=2sin(π+x)sin(x++)的图象关于原点对称,其中∈(0,π),则= .
解析:化简可得f(x)=-2sin xsin(x++),
因为函数图象关于原点对称,
故f(-)=-f(),
代值计算可得
-2×(-)sin =-(-2)×sin(+),
化简可得sin =sin(+),
又∈(0,π),
所以++=π,
解得=.
答案:
7.(2016·吉林白山一模)已知sin α=+cos α,且α∈(0,),则的值为 .
解析:因为sin α=+cos α,即sin α-cos α=,
所以=
==-.
答案:-
8.(2016·湖南常德模拟)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求当x∈[0,]时g(x)的最大值.
解:(1)f(x)=sin 2ωx+1+cos 2ωx
=2sin(2ωx+)+1.
因为T=π⇒=π,
所以ω=1.
从而f(x)=2sin(2x+)+1,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)g(x)=2sin[2(x-)+]+1=2sin(2x-)+1,
因为x∈[0,],
所以-≤2x-≤,
所以当2x-=,即x=时,g(x)max=2×1+1=3.
能力提升
9.(2016·湖北八校联考)若f(x)=2cos(2x+)(>0)的图象关于直线x=对称,且当取最小值时,∃x0∈(0,),使得f(x0)=a,则a的取值范围是( D )
(A)(-1,2] (B)[-2,-1)
(C)(-1,1) (D)[-2,1)
解析:因为函数f(x)=2cos(2x+)(>0)的图象关于直线x=对称,
所以+=kπ,k∈Z,
所以=kπ-,k∈Z,
当(>0)取最小值时=,
所以f(x)=2cos(2x+),
因为x0∈(0,),
所以2x0+∈(,),
所以-1≤cos(2x0+)<,
所以-2≤f(x0)<1,
因为f(x0)=a,
所以-2≤a<1.
故选D.
10.(2016·山东青岛一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,
0<<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM为等腰直角三角形,则f(x)= .
解析:由图象可知,A=,
又f(x)=Asin(ωx+)是偶函数,
所以=+2kπ,k∈Z,
又因为0<<π,
所以=.
如图,过点M作MN⊥KL于N,
因为△KLM为等腰直角三角形,
所以MN=KN=NL=,KL=1,
所以函数f(x)的周期T=2,
即=2,ω=π.
综上知,函数f(x)=cos πx.
答案:cos πx
11.(2016·北京卷,文16)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+
cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin(2ωx+),
所以f(x)的最小正周期T==.
依题意,=π,解得ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin(2x+).
函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
12.(2016·河北石家庄二模)已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ωx+)+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值;
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
解:(1)f(x)=4cos ωx·sin(ωx+)+a
=4cos ωx·(sin ωx+cos ωx)+a
=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1+1+a
=sin 2ωx+cos 2ωx+1+a
=2sin(2ωx+)+1+a.
当sin(2ωx+)=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a,
又f(x)图象上最高点的纵坐标为2,
所以3+a=2,即a=-1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,
所以f(x)的最小正周期为T=π,
故2ω==2,ω=1.
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+),
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
令k=0,得≤x≤.
故函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[,].
创新选做
13.(2016·江西南昌模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)+,x∈R,且f(α)=-,f(β)=,若|α-β|的最小值为,则函数的单调递增区间为( B )
(A)[-+2kπ,π+2kπ],k∈Z
(B)[-+3kπ,π+3kπ],k∈Z
(C)[π+2kπ,π+2kπ],k∈Z
(D)[π+3kπ,π+3kπ],k∈Z
解析:因为f(x)=sin(ωx-)+,且f(α)=-,
所以sin(ωα-)+=-,
解得sin(ωα-)=-1,
同理可得sin(ωβ-)=0,
由|α-β|的最小值为和三角函数图象可得·=,
解得ω=,所以f(x)=sin(x-)+,
由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
可得3kπ-≤x≤3kπ+π,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为[3kπ-,3kπ+π]k∈Z.故选B.