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- 2021-06-30 发布
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易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质
1.下列函数 f(x)中，满足“对任意 x 1 ，x 2 ∈(0，＋∞)，当 x 1f(x2)”的是
( )．
A．f(x)＝1
x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析 对于 A，f(x)是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以 A 符
合题意；对于 B，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故
不符合题意；对于 C，可知其是指数函数，且底数 e>1，故其在(0，＋∞)上
是增函数；对于 D，可知其是底数大于 1 的对数函数，其在(－1，＋∞)上递
增．
答案 A
2．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝
Error!则 f(3)的值为 ( )．
A．1 B．2 C．－2 D．－3
解析 f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.
答案 D
3．f(x)＝1
3x3＋ax2＋5x＋6 在区间[1,3]上为单调函数，则实数 a 的取值范围为
( )．
A．[－ 5，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(－∞，－3]∪[－ 5，＋∞)
D．[－ 5， 5]
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋5，当 f(x)在[1,3]上单调递减时，由Error!得 a≤－3；
当 f(x)在[1,3]上单调递增时，f′(x)≥0 中，Δ＝4a2－4×5≤0 或Error!或Error!
得 a∈[－ 5，＋∞)．
综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－ 5，＋∞)，故选 C.
答案 C
4．已知 f(x)＝Error!则下列函数的图象错误的是 ( )．
[来源:学科网]
解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的
图象，如图所示．由于此函数在 x∈[－1,1]上函
数值恒为非负值，所以|f(x)|的图象不发生改变，
故 D 选项错误．
答案 D
5．(2013·哈尔滨月考)函数 f(x)＝loga(2－ax2)在(0,1)
上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ( )．
A.[1
2
，1) B．(1,2) C．(1,2] D.(1
2
，1)
解析 由题意得 a>0，所以内函数 u＝2－ax2 在(0,1)上为减函数，而函数 f(x)＝
loga(2－ax2)在(0,1)上也为减函数，则外函数 y＝logau 必是增函数(复合函数单
调性是同增异减)，所以 a>1.同时 u>0 在(0,1)上恒成立，故 2－a×1≥0 即 a≤2.
综上有 a∈(1,2]．
答案 C
6．已知函数 f(x)的定义域为[1,9]，且当 1≤x≤9 时，f(x)＝x＋2，则函数 y＝[f(x)] 2
＋f(x2)的值域为
( )．
A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]
解析 ∵函数 f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数 y＝[f(x)] 2＋f(x2)有意义，必须
满足 1≤x≤9,1≤x2≤9，解得 1≤x≤3.∴函数 y＝[f(x)] 2＋f(x2)的定义域为[1,3]．
∵当 1≤x≤9 时，f(x)＝x＋2，∴当 1≤x≤3 时 ，也有 f(x)＝x＋2，即 y＝
[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当 x＝1 时，y 取得最小值，ymin
＝12，当 x＝3 时，y 取得最大值，ymax＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故
选 C.
答案 C
7．函数 y＝f(x)与函数 y＝g(x)的图象如图
则函数 y＝f(x)·g(x)的图象可能是
( )．
解析 从 f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故 f(x)·g(x)是奇
函数，排除 B 项．又 g(x)在 x＝0 处无意义，故 f(x)·g(x)在 x＝0 处无意义，排
除 C、D 两项．
答案 A
8．(2013·山西四校联考)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的增函数，函数 y＝f(x－1)
的图象关于点(1,0)对称．若对任意的 x，y∈R，不等式 f(x2－6x＋21)＋f(y2－
8y)<0 恒成立，则当 x>3 时，x2＋y2 的取值范围是
( )．
A．(3,7) B．(9,25) C．(13,49) D．(9,49)
解析 函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数
y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在 R 上是
增函数，故有 f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)恒成立，即 f(x2
－6x＋21)0，设 t＝ 2
x＋|x|
＝1
x.则 x＝1
t.
故 log2 x|x|＝1
2log2x2＝log2x＝log2
1
t
＝－log2t，
所以 f(t)＝－log2t，即 f(x)＝－log2x(x>0)．[来源:学.科.网]
答案 －log2x(x>0)
13．(2013·昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当 x
∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4 为函数 y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数 y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
④若方程 f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为 x 1，x2 则 x1＋x2＝－8.以上命题中
所有正确命题的序号为________．
解析 令 x＝－2，得 f(2)＝f(－2)＋f(2)，即 f(－2)＝0，又函数 f(x)是偶函数，
故 f(2)＝0；根据①可得 f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)的周期是 4，由于偶函数的
图象关于 y 轴对称，故 x＝－4 也是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴；根据函数
的周期性可知，函数 f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数 f(x)的图象
关于直线 x＝－4 对称，故如果方程 f(x)＝m 在区间[－6，－2]上的两根为 x1，x2，
则x1＋x2
2
＝－4，即 x1＋x2＝－8.故正确命题的序号为①②④.
答案 ①②④
14．已知 f(x)＝lg(－x 2＋8x－7)在(m，m＋1)上是增函数，则 m 的取值范围是
________．
解析 复合函数 f(x)＝lg(－x 2＋8x－7)可以分解为外函数 y＝lg u 和内函数 u
＝－x2＋8x－7.外函数是增函数，故内函数在(m，m＋1)上必是增函数．故有
Error!
解得 1≤m≤3.
答案 [1,3]
15．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f(x＋1)＝f(x－1)，
已知当 x∈[0,1]时 f(x)＝(1
2 )1－x，则 [来源:学*科*网]
①2 是函数 f(x)的周期；
②函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；
④当 x∈(3,4)时，f(x)＝(1
2 )x－3，
其中所有正确命题的序号是________．
解析 由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，
则 y＝f(x)是以 2 为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0 时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝(1
2 )1＋x，函数 y＝f(x)的图象如
图所示：
当 3
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