高二数学教案第7讲：直线和圆的综合 6页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 教学内容 ‎1. 理解直线与圆的位置的种类 ‎2. 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 ‎3. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 ‎1.直线与圆的位置关系有哪些？如何判断？‎ 通过交点个数判断 没有交点（相离），一个交点（相切），两个交点（相交）那么如何用代数表示呢？‎ 教师通过提问来引出代数方法 代数法：把已知圆的方程与已知直线的方程联立方程组，得到关于或的一元二次方程，利用判别式来讨论直线和圆的位置关系，即时直线和圆相交；时直线和圆相离；时直线和圆相切.‎ ‎2.点到直线的距离公式是什么？如何应用它来判断直线与圆的位置关系呢？‎ 教师通过提问来引出几何方法 几何法：设已知圆的圆心到已知直线的距离为，‎ 当时，直线圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.‎ ‎3. 当直线与圆相交时：涉及弦长问题，常用弦心距，或者韦达定理计算弦长；涉及弦的中点问题，常用“点差法”将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。‎ 练习：已知直线和圆,试问：为何值时，直线与圆相交？‎ 解：圆心到直线距离，求得或 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知为圆上一点，求过点的圆的切线的方程.‎ 解：因为是切线与圆的切点，所以过的半径与垂直，即是的法向量，于是可得切线的法向式方程 ：整理得又因为点在圆上，所以.所以过点的圆的切线方程为；特别地，当垂直于轴时，经过点的切线方程是，当垂直于轴时，经过点的切线方程是.‎ 试一试：求过点且圆相切的直线的方程.‎ 解：‎ 教师可根据学生的接受情况，适当讲解这种情况下的直线方程 例2. 已知圆的方程是，点是圆外一点，过M做圆的两条切线，切点分别为A、B，求AB所在的直线方程 解：设A点坐标为，B点坐标为，由上题的结论可知，点A和B所在的直线方程分别为：‎ 和，因为有点在这两条直线上，因此 ‎ 所以AB所在的直线方程为：‎ 试一试：过点引圆的两条切线，并且为切点，求直线的方程.‎ 解：.‎ 教师可根据学生的接受情况，适当讲解这种情况下的直线方程 例3. 已知圆，求过点与圆相切的切线．‎ 解：∵点不在圆上，‎ ‎∴切线的直线方程可设为 根据 ‎∴ ‎ 解得 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．‎ 试一试：求过点，且与圆相切的直线的方程．‎ 解：设切线方程为，即，‎ ‎∵圆心到切线的距离等于半径，‎ ‎∴，解得， ‎ ‎∴切线方程为，即，‎ 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，‎ 故直线也适合题意。‎ 所以，所求的直线的方程是或．‎ 例4. 己知圆,直线 ‎ (1)证明: 无论取何值 直线与圆恒相交.‎ ‎ (2)求直线被圆截得的最短弦长,及此时直线的方程.‎ 解：(1)将直线的方程变形，得．‎ ‎ ∵对于任意的实数, 方程都成立，直线过定点在圆内，所以直线与圆相交 ‎ （2）由平面几何知识可得：当直线l垂直AC时所得弦长最短， 最短弦长为 若直线经过圆内的一定点，那么该直线必与圆交于两点，因此可以从直线过定点的角度去考虑问题.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1.从点向圆作切线，则切线长度的最小值是 ‎ 解：由图形可知：点在圆外，点、切点与圆心三点构成直角三角形，当长度最小时，且线段最短 ‎2. 直线过点P(0,2)且被圆截得弦长为2，求的斜率 解：由题意可得直线斜率一定存在，设直线方程，圆心到直线距离 ‎　　求得 ‎3. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。‎ 解：设圆心坐标为．因为圆和轴相切，得圆的半径为，‎ 所以圆心到直线的距离为．‎ 由半径、弦心距、半径的关系得 ‎ ∴所求圆的方程为：或．‎ ‎4. 过点的直线与圆 ‎ （1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长;‎ ‎ （2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长;‎ ‎ 附加题：（3）若圆的方程加上条件，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.‎ 解：（1）易知：是一条切线方程，设另一条直线方程为，圆心到直线距离，解得，所以切线方程为，；，，所以切线长 ‎　（2）直线方程为，圆心到直线距离，‎ ‎　（3）画图分析：或 ‎（以学生自我总结为主，TR引导为辅，为本次课做一个总结回顾）‎ ‎1. 在的圆上是否存在四个点到直线的距离等于１。‎ 解：圆心到直线的距离等于２，通过画图分析可知：当时不存在题意的四点；当时，存在满足题意的四点 ‎2. 是圆内一点，则过点最短的弦所在的直线方程是( )‎ ‎ ‎ 解：由平面几何知识可得？最短的弦所在的直线是过点且与垂直的直线。C ‎3. 直线与圆的关系是（ ）‎ A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定 解：利用圆心到直线距离可知：直线与圆相切。B ‎4. 过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 ‎ 解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.‎ ‎5. 已知圆,问：是否存在斜率为1的直线使l被圆截得得弦为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程。‎ 解：假设存在，设直线方程为，若以弦ＡＢ为直径的圆过原点，则，联立直线与圆的方程得到：，利用，求得或，检验 不符合题意，所以直线存在，方程为 ‎1、同学们在生活中见过哪些椭圆？类比圆的定义，椭圆应该怎样定义呢？‎ ‎2、在平面直角坐标系内，已知点A（-2,0），B（2,0），若动点P到A点的距离和到B点的距离之和为6，求P点的轨迹方程。‎