数学文卷·2018届湖南省永州市高三下学期第三次模拟考试（2018 9页

湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 }2|{  xxA ， }31|{  xxB ，则 BACU )( （ ） A． }32|{  xx B． }21|{  xx C． }3|{ xx D． 2．现从已编号（1~50）的 50 位同学中随机抽取 5 位以已经他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间 隔一样的系统抽样方法所选取的 5 位同学的编号可能是（ ） A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,10,18,26,34 3．已知i 为虚数单位，复数 z 满足 5)2(  zi ，则 z 的虚部为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 4．下列函数中，与函数 xxy  22 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ） A． xy sin B． 3xy  C． xy )2 1( D． xy 2log 5．一个球被两个平行平面截后所得几何体形如我国的一种民族打击乐器“鼓”，该“鼓”是三视图如图所 示，则求的表面积为（ ） A． 5 B． 10 C． 20 D． 54 6．已知抛物线 2pxy  （其中 p 为常数）经过点 )3,1(A ，则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ） A． 2 9 B． 2 3 C． 18 1 D． 6 1 7．运行如图所示的程序框图，若输入的 ia （ 4,3,2,1i ）分别为 1，3，4，6，则输出的值为（ ） A．2 B．3 C．7 D．10 8．已知数列 }{ na 满足 nn aa 21  ， 241  aa ，则  85 aa （ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 9．将函数 )2|)(|2sin()(   xxf 的图象向左平移 6  个单位后的图象关于原点对称，则函数 )(xf 在 ]2,0[  上的最小值为（ ） A． 2 3 B． 2 1 C． 2 1 D． 2 3 10．已知函数 )(log)( 2 2 axaxf  （ 0a ）的最小值为8，则（ ） A． )6,5(a B． )8,7(a C． )9,8(a D． )10,9(a 11．已知数列 }{ na 是等差数列，前 n 项和为 nS ，满足 831 5 Saa  ，给出下列结论： ① 010 a ；② 10S 最小；③ 127 SS  ；④ 020 S .其中一定正确的结论是（ ） A．①② B．①③④ C．①③④ D．①②④ 12．已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的焦距为 c2 ，若 2 cba ，则此双曲线焦距的最小值为 （ ） A． 222  B． 224  C． 224  D． 244  二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量 )3,2(a ， )2,(  xb ，若 )2( baa  ，则实数 x 的值为 . 14．从“1，2，3，4”这组数据中随机取出三个不同的数，则这三个数的平均数恰为 3 的概率是 . 15．设实数 yx, 满足约束条件       2 04 022 y yx yx ，则 x yz  的最大值是 . 16．若直角坐标平面内两点 QP, 满足条件：① QP, 两点分别在函数 )(xfy  与 )(xgy  的图象上； ② QP, 关于 y 轴对称，则称 ),( QP 是函数 )(xfy  与 )(xgy  的一个“伙伴点组”（点组 ),( QP 与 ),( PQ 看作同一个“伙伴点组”）.若函数       )0(, )0(,ln )( xx xx xf 与 1||)(  axxg 有两个“伙伴点 组”，则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在锐角 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，且 0)(2sincos3  CBA . （1）求 A 的值； （2）若 5||  cb ， ABC 的面积为 3 ，求 a 的值. 18．如图所示，在多面体 111 CBAABC  中， FED ,, 分别是 1,, CCABAC 的中点， 4 BCAC ， 24AB ， 21 CC ，四边形 CCBB 11 为矩形，平面 ABC 平面 CCBB 11 ， 11 // CCAA （1）求证：平面 DEF 平面 CCAA 11 ； （2）求直线 EF 与平面 ABC 所成的角的正切值. 19．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环 境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的 一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 经计算：    6 1 266 1 i ixx ，    6 1 336 1 i iyy ， 557))(( 6 1  i ii yyxx ， 84)( 6 1 2  i i xx ， 3930)( 6 1 2  i i yy ， 64.236)ˆ( 6 1 2  i i yy ， 31670605.8 e ，其中 ii yx , 分别为试验数据中的温度和 死亡株数， 6,5,4,3,2,1i . （1）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 axby ˆˆˆ  （结果精确到 1.0 ）； （2）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 xey 2303.006.0ˆ  ，且相关指数为 9522.02 R . （i）试与（1）中的回归模型相比，用 2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii）用拟合效果好的模型预测温度为 C35 时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据 ),( 11 vu ， ),( 22 vu ，……， ),( nn vu ，其回归直线 uv  ˆˆˆ  的斜率和截距的最小二乘估 计分别为： uva uu vvuu n i i n i ii  ˆˆ, )( ))(( ˆ 1 2 1         ；相关指数为：        n i ii n i ii vv vv R 1 2 1 2 2 )( )ˆ( 1 . 20．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为4，离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线l 经过点 )1,0( P ，且与椭圆交于 BA, 两点，若 PBAP 2 ，求直线 l 的方程. 21．已知函数 xaxxaxf  2ln)21()( . （1）讨论 )(xf 的导函数 )(' xf 的零点个数； （2）当 0a 时，证明： aaaaxf 4 3)2 11ln(2)(  . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线l 过点 )2,1(P ，且倾斜角为 ， )2,0(   .以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 12)sin3( 22   . （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交与 NM , 两点，当 2||||  PNPM ，求 的值. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 3|2|)(|,3||2|)(  xxgxaxxf . （1）解不等式 6|)(| xg ； （2）若对任意的 Rx 2 ，均存在 Rx 1 ，使得 )()( 21 xfxg  成立，求实数 a 的取值范围. 永州市 2018 年高考第三次模拟考试试卷 数 学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B A D A C D A C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．10 14． 1 4 15．1 16．  ,e 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ) 3 cos sin 2( ) 0A B C   ， 3 cos sin 2( ) 3 cos sin 2 0A A A A      3 cos 2 sin cos 0A A A   , 又 ABC 为锐角三角形， cos 0A  ， 3sin 2A  ,  60A   . (Ⅱ)由 1 1 3sin 32 2 2ABCS bc A bc     ，得 4bc  , 2 2 2 2 5b c b c bc     ， 2 2 13b c   , 2 2 2 12 cos 13 2 4 92a b c bc A         ， 即 3a  . 18．（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ) ,D E 分别是 ,AC AB 的中点， DE ∥ BC ,  四边形 1 1BB C C 为矩形， 1BC CC  . 4AC BC  , 4 2AB  , 2 2 2 ,AC BC AB BC AC    , BC  平面 1 1AAC C , DE  平面 1 1AAC C  平面 DEF  平面 1 1AAC C (Ⅱ)  平面 ABC  平面 1 1BB C C ，且 1BC CC ， 1CC  平面 ABC . 连接CE ，则CE 为 EF 在平面 ABC 上的射影， EF 与CE 所成的角即为 EF 与平面 ABC 所成的角. 在 Rt ABC 中，由 AC BC CE AB   得 16 2 4 2 CE   , 在 Rt ECF 中， 1CF  ， 2tan 2 CFFEC CE    ， 故直线 EF 与平面 ABC 所成的角的正切值为 2 2 . 19．（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)由题意得， 1 2 1 ( )( ) 557ˆ= 6.6384( ) n i i i n i i x x y y b x x          ∴ ˆa 33−6.6326=−139.4， ∴ y 关于 x的线性回归方程为： ˆy =6.6x−139.4． （注：若用 ˆ 6.6b  计算出 ˆ 138.6a   ，则酌情扣 1 分） (Ⅱ) （i）线性回归方程 ˆy =6.6x−138.6 对应的相关系数为： 6 2 2 1 6 2 1 ˆ( ) 236.641 1 1 0.0602 0.93983930( ) i i i i i i y y R y y              ， 因为 0.9398＜0. 9522， 所以回归方程 0.2303ˆ 0.06 xy e 比线性回归方程 ˆy =6.6x−138.6 拟合效果更好． （ii）由（i）知，当温度 35x C  时， 0.2303 35 8.0605ˆ 0.06 0.06 0.06 3167 190y e e     ， 即当温度为 35C 时该批紫甘薯死亡株数为 190. 20.（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， 22 4, 2 cc e a    ， 2 2a  ， 2 2 2 4b a c    ，  椭圆C 的方程为： 2 2 18 4 x y  . (Ⅱ)由题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为： 1 1 2 21, ( , ), ( , )y kx A x y B x y  ， 由 2 2 1 18 4 y kx x y     得 2 2(2 1) 4 6 0k x kx    ，且 0  ， 则 1 2 2 4 2 1 kx x k    ， 1 2 2 6 2 1x x k     ， 2AP PB   ，即 1 1 2 2( , 1 ) 2( , 1)x y x y     ， 1 22x x   2 2 2 2 2 4 2 1 62 2 1 kx k x k         ，消去 2x 并解关于 k 的方程得： 3 10 10k   ， l 的方程为： 3 10 110y x   21．（本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ) ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 2 (2 1 2 )( 1)( 1 2 2 1 2) 2 1a ax x ax a xf x axx x a x          若 0a  ，由 1 0  ， ( )f x 没有零点； 若 0a  或 1 2a  ，由 2 1 02 a a   ， 2 1( ) 02 af a   ， 1 0  ， ( )f x 有一个零点； 若 10 2a  ，由 2 1 02 a a   ， 1 0  ， ( )f x 没有零点． 综上所述，当 0a  或 1 2a  时 ( )f x 有一个零点；当 10 2a  时 ( )f x 没有零点． (Ⅱ)由（1）知， (2 1 2 )( 1)( ) ax a xf x x     ， 0a  时 当 1(0,1 )2x a   时， ( ) 0f x  ；当 1(1 )2x a    ， 时， ( ) 0f x  . 故 ( )f x 在 1(0,1 )2a  单调递增，在 1(1 )2a   ， 单调递减. 所以 ( )f x 在 11 2x a   取得最大值， 最大值 21 1 1 1(1 ) (1 2 )ln(1 ) (1 ) 12 2 2 2f a aa a a a         ， 即 1 1 1(1 ) (1 2 )ln(1 )2 2 4f a aa a a       . 所以 1 3( ) 2 ln(1 )2 4f x a aa a      等价于 1 1ln(1 ) 02 2a a    ， 即 1 1ln(1 ) (1 ) 1 02 2a a      ，其中 11 12a   ． 设 ( ) ln 1g x x x   ，则 1( ) 1g x x    . 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ；当 (1, )x   时， ( ) 0g x  . 所以 ( )g x 在 (0,1) 单调递增，在 (1, ) 单调递减. 故当 1x  时 ( )g x 取得最大值，最大值为 (1) 0g  所以当 1x  时， ( ) 0g x  . 从而当 0a  时 1 1ln(1 ) (1 ) 1 02 2a a      ， 即 1 3( ) 2 ln(1 )2 4f x a aa a      ． （二）选考题：10 分. 22.（本小题满分 10 分） 解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为         2,0),(sin2 ,cos1   为参数tty tx . 曲线C 的直角坐标方程为 1243 22  yx ，即 134 22  yx ， 所以曲线C 是焦点在 x轴上的椭圆. (Ⅱ)将l 的参数方程         2,0),(sin2 ,cos1   为参数tty tx 代入曲线C 的直角坐标方程为 1243 22  yx 得 07)sin16cos6()sin4cos3( 222  tt  ， 1 2 2 2 7 23cos 4sinPM PN t t        ， 得 2 1sin 2   ， 0, 2      ， 4   23.（本小题满分 10 分） 解：(Ⅰ)由 2 3 6x    |，得 6 2 3 6x     ， ∴ 9 2 3x    ，得不等式的解为 1 5x   (Ⅱ)    ( ) 2 3 2 3 2 3f x x a x x a x a          ， ( ) 2 3 3g x x    ， 对任意的 2x R 均存在 1x R ，使得 2 1( ) ( )f x g x 成立，     ( ) ( )y y f x y y g x   ，  2 3 3a   ，解得 0a  或 3a   ， 即实数 a的取值范围为： 0a  或 3a   ．