2017-2018学年山西省大同市第一中学高二5月月考数学（文）试题-解析版 16页

绝密★启用前 山西省大同市第一中学2017-2018学年高二5月月考数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：利用交集的性质求解．‎ 详解：∵M={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，‎ N={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，‎ ‎∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎2．若将复数表示为，是虚数单位的形式，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选.‎ ‎3．若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：利用指数函数和对数函数的性质即可得出．‎ 详解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：D．‎ 点睛：熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解题的关键．‎ ‎4．给出下列三个命题：‎ ‎：，；‎ ‎：“或”是“”的必要不充分条件；‎ ‎：若，则.‎ 那么，下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以命题为假命题。‎ 易知或不能推出“”，但“”能推出或，故为真命题。‎ 由得且，所以，所以为真命题。‎ 因此为真命题。选C。‎ ‎5．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，实数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：先根据奇函数将化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，建立不等式组进行求解即可．‎ 详解：∵f（x）是奇函数 ‎∴等价为f（a）f（-a+1），‎ ‎∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，‎ ‎∴ ,即.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三视图还原原几何体，可知原几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，则斜高为．然后由圆柱侧面积、底面积及棱锥侧面积公式求解．‎ 详解：由三视图还原原几何体如图，‎ ‎ ‎ 该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，‎ 圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，则斜高为．‎ ‎∴该几何体的表面积为 ‎ 故选：B．‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎7．如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 详解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余3，被7整除余2最小两位数， 故输出的n为23， 故选：A．‎ 点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答；关键是读懂循环结构的意图，将每一次循环的结果写出来，验证终止条件.‎ ‎8．已知是圆内一点，过点的最长弦和最短弦所在直线方程为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆，得其标准方程为：‎ 已知圆的圆心坐标为 又是圆内一点，‎ 过点最长的弦所在的直线为经过与圆心的直线，直线方程为 ‎,整理得：‎ 故过点的最长弦所在的直线方程为 圆的圆心坐标为，过点最长的弦是圆的直径，且 此时直线的方程的斜率为 又点最短弦所在直线与直线垂直，‎ 过最短弦所在直线的斜率 则所求直线的方程为,即 综上所述，过点的最长弦和最短弦所在直线方程分 ‎ ，‎ 故答案选 ‎9．函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：判断f（x）的奇偶性，在（，π）上的单调性，再通过f（）的值判断．‎ 详解：f（﹣x）==﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C；‎ ‎ ，排除A，‎ 当x＞0时，f（x）=，f′（x）=，‎ ‎∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D，‎ 故选：B．‎ 点睛：点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.‎ ‎10．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由可知点E为PF的中点．为右焦点.连结,可得且,.又.在三角形中．.故选C.‎ 考点：1.双曲线的性质.2.解三角形.3.直线与圆的位置关系.‎ ‎11．已知函数 满足，且的导数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设， ，即函数在上单调递增， ， ，而函数在上单调递增， ，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数求范围, 属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ ‎12．已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时， 有两个根，当时， 有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时， ，此时由，解得或，满足有两个根， 有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.‎ 考点：根的存在性及个数的判断.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】或. ‎ ‎【解析】试题分析：因,则由题设,即,所以,故,应填.‎ 考点：三角函数的图象和性质．‎ ‎14．直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得。‎ ‎15．若实数， 满足不等式组，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】解：因为实数满足，则表示的为区域内的点到（-1,1）的两点的连线斜率的范围，则可以利用边界点（1,0）（0,0）得到结论。‎ ‎16．下列四个命题：‎ ‎①圆与直线相交，所得弦长为；‎ ‎②直线与圆恒有公共点；‎ ‎③若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为；‎ ‎④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为.‎ 其中，正确命题的序号为__________．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】②④.‎ ‎【解析】试题分析：①②是直线和圆的位置关系及弦长问题，一般转化为圆心到直线的距离问题，但本题中很容易看出①中直线x﹣2y=0过圆心，②中直线和圆均过原点；③④为与球有关的组合体问题，结合球的截面性质，球心与截面圆心的连线垂直于截面圆处理．‎ 详解：①圆心（﹣2，﹣1）在直线x﹣2y=0上，即直线x﹣2y=0过圆心，所得弦长为直径4，结论错误；‎ ‎②∵直线y=kx与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1横过原点，故恒有公共点正确；‎ ‎③球直径为正方体的对角线长即 ，故求半径R= ，球表面积为s=4πR2=27π，结论错误；‎ 由上图可知，AH=， ，∴R=，‎ ‎∵，∴，∴ ，结论正确．‎ 故答案为：②④‎ 点睛：本题考查直线和圆的位置关系及与球有关的组合体问题．直线和圆的位置关系一般转化为圆心到直线的距离问题，与球有关的组合体问题要画好图形，结合球的截面性质．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集， ： ， ： .‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别求函数的定义域和不等式（a＞0）的解集化简集合A，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a的取值范围；‎ ‎（2）求出¬p对应的x的取值范围，由¬p是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件得： ， ‎ 若，则必须满足 所以， 的取值范围为： ‎ ‎（2）易得： ： 或，‎ ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的真子集 则，解得： ‎ ‎∴的取值范围为： ‎ 点睛：本题考查了函数定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对区间端点值的比较，是中档题．‎ ‎18．中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若，则有cosB•（2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变形可得，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案．‎ 详解：‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）根据余弦定理可知，∴，‎ 又因为，∴，∴，∴，‎ 则.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎19．某大学高等数学老师这学期分别用两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？‎ ‎（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；‎ ‎（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”‎ 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ （参考公式：其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高.‎ ‎（Ⅱ） ;‎ ‎（Ⅲ）在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高 3分 ‎（Ⅱ）记成绩为86分的同学为，其他不低于80分的同学为 ‎“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：‎ 一共15个，‎ ‎“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：共9个， 5分 故 7分 ‎（Ⅲ）‎ 甲班 乙班 合计 优秀 ‎3‎ ‎10‎ ‎13‎ 不优秀 ‎17‎ ‎10‎ ‎27‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎9分 ‎，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 12分 考点：茎叶图，古典概型概率的计算，卡方检验。‎ 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。解答本题的关键之一，是确定“事件数”，一般处理方法有“树图法”“坐标法”，力求不重不漏。本题对计算能力要求较高。‎ ‎20．如图（1）所示，已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中 ‎.且点为线段的中点， ， 现将△沿进行翻折，使得二面角 的大小为，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面，则.‎ ‎(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为平面 平面，‎ 又，所以平面．　‎ 又平面，‎ 所以．‎ 在直角梯形中， ， ， ，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 又，‎ 所以平面．　‎ 因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，‎ 因为，且，‎ 所，‎ 即，故点到平面的距离为.‎ ‎21．已知椭圆：过点，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）直线过点且交椭圆于、两点，若（其中为坐标原点），求直线的方程.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得，再根据离心率求得（2）设，，则由得，再设直线方程，化简得和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注意验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析：（Ⅰ）将代入方程可得，‎ 离心率，‎ ‎∴，‎ ‎∴的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设，，直线方程为，‎ 则，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由，‎ 可得，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴直线的方程为或．‎ 点睛：‎ 直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求在处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用在区间上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求的取值范围.‎ 试题解析：（1）由已知得,‎ 若时，有， , ‎ ‎∴在处的切线方程为： ，化简得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为且，令，得 所以当时，有，则是函数的单调递减区间；、‎ 当时，有，则是函数的单调递增区间． 9分 若在区间上恰有两个零点，只需，即,‎ 所以当时， 在区间上恰有两个零点.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎