数学理卷·2018届山西省高三省际名校联考（三）（2018 12页

‎2018届山西省高三省际名校联考（三）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若函数为奇函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设为双曲线上的点，，分别为的左、右焦点，且，与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在四面体中，，，底面，为 的重心，且直线与平面所成的角是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是 ．‎ ‎14.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是 ．‎ ‎15.已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.当，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，为边上一点，且，求的长.‎ ‎18. 如图，三棱柱中，，平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：‎ 消费金额（单位：元）‎ 购物单张数 ‎25‎ ‎25‎ ‎30‎ 由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：‎ ‎（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；‎ ‎（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.‎ ‎（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；‎ ‎（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）定义：“对于在区域上有定义的函数和，若满足恒成立，则称曲线为曲线在区域上的紧邻曲线”.试问曲线与曲线是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点.‎ ‎（1）求线段中点的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）若是（1）中点的轨迹上的动点，求面积的最大值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ADDBB 6-10:CAADC 11、12：DC 二、填空题 ‎13.尺 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎（2）∵，，∴.‎ 由，得，∴，又，∴.‎ 则为等边三角形，且边长为，∴.‎ 在中，，，，由余弦定理可得.‎ ‎18.（1）证明：∵平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：∵平面，∴，‎ ‎∴四边形为菱形，∴.‎ 又，∴与均为正三角形.‎ 取的中点，连接，则.‎ 由（1）知，则可建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则，，，，.‎ ‎∴，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ ‎∴∴‎ 取，则为平面的一个法向量.‎ 又为平面的一个法向量，‎ ‎∴.‎ 又二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为.‎ ‎19. 解：（1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为.‎ 设所求概率为，而消费额在的概率为.‎ 故消费额在区间内的概率为.‎ 因此消费额的平均值可估计为 ‎.‎ 令其与中位数相等，解得.‎ ‎（2）根据题意，，.‎ 设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为 ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎500‎ ‎200‎ ‎100‎ 故（元）.‎ ‎20.解：（1）设切点为则.‎ ‎∴点处的切线方程为.‎ ‎∵过点，∴，解得或.‎ 当时，切线的方程为或.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入得 ‎， ①‎ ‎，得， ②‎ 由题意得，直线的方程为，‎ 同理可得，即， ③‎ ‎②×③得，∴. ④‎ 设，，则，.‎ ‎∴.点到的距离为，‎ ‎∴的面积为.‎ 同理的面积为.‎ 由已知得，‎ 化简得， ⑤‎ 欲使⑤有解：则，∴.‎ 又，得，∴.‎ 综上，的取值范围为或或.‎ ‎21.（1）.‎ 当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，令，得，函数在上单调递减；‎ 令，得，函数在上单调递增.‎ 综上所述，当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）原命题等价于曲线与曲线是否相同的外公切线.‎ 函数在点处的切线方程为 ‎，即，‎ 曲线在点处的切线方程为，即 ‎.‎ 曲线与的图象有且仅有一条外公切线，‎ 所以 有唯一一对满足这个方程组，且，‎ 由（1）得代入（2）消去，整理得，‎ 关于的方程有唯一解.‎ 令，‎ ‎∴.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 所以.‎ 因为，；，，只需.‎ 令，在为单减函数，‎ 且时，，即，‎ 所以时，关于的方程有唯一解，‎ 此时，外公切线的方程为.‎ ‎∴这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时.‎ ‎22.解：（1）由的方程可得，又，，‎ ‎∴的直角坐标方程为，即.‎ 设，则，‎ ‎∴点的轨迹的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）由（1）知点的轨迹的普通方程为，，，，所以直线的方程为.‎ 设，则到的距离为 ‎，‎ ‎∴面积的最大值为.‎ ‎23.解：‎ ‎（1）当时，，∴，∴；‎ 当时，，∴，∴；‎ 当时，，∴，∴.‎ 综上，不等式的解集为{或}.‎ ‎（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，‎ 不等式只有一个正整数解，‎ ‎∴.‎