甘肃省张掖市第二中学2020届高三9月月考数学（理）试卷 9页

数学（理科）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设全集，集合则集合= （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若命题，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，向量，则向量( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知命题“”，命题“”，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在等差数列中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．若双曲线的一个焦点F到其一条渐近线的距离为则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.‎ 甲说：我在1日和3日都有值班 乙说：我在8日和9日都有值班 丙说：我们三人各自值班日期之和相等 据此可判断丙必定值班的日期是（ ）‎ A．10日和12日 B．2日和7日 C．4日和5日 D．6日和11日 ‎10．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则( )‎ A．4 B． C． D．‎ ‎11．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．当时, ,则的取值范围是(   )‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．直线与间的距离为________ 。‎ ‎14．已知对于任意实数满足（其中，），则有序实数对_________‎ ‎15．已知函数，若实数满足，则 ‎____.‎ ‎16．已知函数，则__________________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（12分）已知等差数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．‎ ‎18．（12分）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若M是线段PC的中点，求BM与平面PDC所成的角的正弦值。‎ ‎19．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.‎ ‎（I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在 轴上截得线段 长.‎ ‎(1) 求圆心的轨迹方程；‎ ‎(2) 若点到直线的距离为，求圆P的方程.‎ ‎21．（12分）已知函数，，其中．‎ ‎(1) 当时，求函数的极值；‎ ‎(2) 若存在区间，使得与在区间上具有相同的单调性，求实数 的取值范围．‎ 二选一 ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ 已知点，且直线与曲线交于、两点，求的值．‎ ‎23．（10分）．‎ ‎（1）画出的图象，并由图象写出的解集；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）答案 ‎1．D 2．B 3．A 4．D 命题p即：lna⩾x，∴lna⩾1，解得a⩾e；命题q即关于x的方程x2+4x+a=0有实根，等价于△=16−4a⩾0，所以a⩽4.∵命题“p∧q”是真命题，∴命题p真，命题q真，因此实数a的取值范围是[e,4]；‎ ‎5．B 又 ‎ ‎6．D 由等差中项的性质得，得，‎ 所以，，故选：D.‎ ‎7．A 排除BD 排除C ‎8．C 解：双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的方程为，整理得，即 所以 ‎ ‎9．D 由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，‎ 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，‎ ‎10．D 因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．‎ ‎11．A 在上恒成立，则在上恒成立，‎ 令，，所以在单调递增，‎ 故g(x)的最大值为g(3)=. 故.‎ ‎12．故选B 由题意，当时，函数的图象，如图所示，‎ 若不等式恒成立，则函数的图象恒在函数的上方，‎ 因为函数的图象与函数的图象交于点时，‎ 此时，根据对数函数的性质可知函数图象对应的底数满足，.‎ ‎13．‎ 因为直线与互相平行.‎ ‎14．‎ ‎15．2 对任意，，函数的定义域为，‎ ‎，则函数为奇函数，‎ 当时，由于函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数，所以，函数在上为增函数，由，得，，可得出.‎ ‎16．‎ 对函数求导得，，解得，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎17．(I)；(Ⅱ)，或 ‎(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，‎ 解得，， ∴．‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，∴，或． .‎ ‎18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎（Ⅰ）证明：因为平面，所以．‎ 又因为，，所以．‎ 又，平面．可得平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）方法1.建立空间直角坐标系得正弦值是 方法2。取PD的中点为N，则AN//BM,则 ‎19．（I）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）解：设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，‎ 事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，则,所以，事件发生的概率为.‎ ‎（Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎20．(1) (2) 或.‎ ‎(1)设，圆的半径为，‎ 由题设可得，，从而，故点的轨迹方程为.‎ ‎(2)设，由已知得，即，‎ 又P点在双曲线上，所以，‎ 由，得，此时，圆的半径；‎ 由，得，此时，圆的半径，‎ 故圆的方程为：或.‎ ‎21．（1）极小值，无极大值．（2）‎ 解：(1)当时，，定义域为，则，‎ 故当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 所以在处取得极小值，且，无极大值．‎ ‎(2)由题意知，，．‎ 当时，，即在R上单调递增，而在上单调递增，‎ 故必存在区间，使得与在区间上单调递增；‎ 当时，，故在上单调递减，而在上单调递增，故不存在满足条件的区间；‎ 当时，，即在上单调递减，而在上单调递减，在上单调递增，若存在区间，使得与在区间上有相同的单调性，则有，解得．‎ 综上可知，的取值范围为．‎ ‎22．将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．得到圆的图象，故曲线的普通方程为；‎ 直线的极坐标方程为．故直线的直角坐标方程为，即；‎ 直线过点且倾斜角为，故直线的参数方程为：(为参数）．代入方程．化为：，．‎ 根据的几何意义可得：．‎ ‎23．（1）图象详见解析，解集为；（2）‎ ‎（1）的图象如图所示：‎ 由图象可得的解集为：‎ ‎（2），从而只需，即：‎ 解得：实数的取值范围为