高中数学（人教A版）必修4：3-1-2-2同步试题（含详解） 5页

高中数学(人教A版)必修4同步试题 ‎1．已知下列四个等式：‎ ‎①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；‎ ‎②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；‎ ‎③cos＝－sinα；‎ ‎④tan(α－β)＝.‎ 其中恒成立的等式有(　　)‎ A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个 解析　①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．‎ 答案　B ‎2.的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．－ 解析　原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.‎ 答案　B ‎3．设tanα，tanβ是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b≠0)的两个实根，则的值为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析　由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－，‎ tanα·tanβ＝，‎ ‎∴＝＝＝.‎ 答案　C ‎4．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则∠C等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由已知，得tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，‎ 即＝－.‎ ‎∴tan(A＋B)＝－，则tanC＝－tan(A＋B)＝，则∠C＝.‎ 答案　A ‎5．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由已知可求得tan(α＋β)＝1.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 答案　B ‎6．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.‎ 解析　tan(α－β)＝＝＝.‎ 答案　 ‎7.＝________.‎ 解析　原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.‎ 答案　1‎ ‎8．已知α∈，sinα＝，则tan＝______.‎ 解析　∵<α<π，sinα＝，‎ ‎∴cosα＝－，∴tanα＝－.‎ ‎∴tan＝＝＝.‎ 答案　 ‎9．(1)已知α＋β＝，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．‎ ‎(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．‎ 解　(1)∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1，‎ 即＝1，‎ ‎∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.‎ ‎∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.‎ ‎(2)由(1)知当α＋β＝45°时，‎ ‎(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.‎ ‎∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)‎ ‎＝222·2＝223.‎ ‎10．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．‎ 解　(1)tanα＝－，cosβ＝，β∈(0，π)，‎ ‎∴sinβ＝，∴tanβ＝2.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎(2)∵tanα＝－， α∈(0，π)，‎ ‎∴sinα＝，cosα＝－ .‎ ‎∴f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ　‎ ‎＝－sinx－cosx＋cosx－sinx ‎＝－sinx.‎ ‎∴f(x)的最大值为.‎ 教师备课资源 ‎1.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于(　　)‎ A．4 B. 2‎ C．1 D. 解析　∵tan(α＋β)＝ 又tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，‎ ‎∴4＝，∴tanαtanβ＝.‎ 答案　D ‎2.的值为(　　)‎ A. B. C. D．－ 解析　原式＝＝＝－tan(45°＋15°)＝－tan60°＝－.‎ 答案　D ‎3．化简＝________.‎ 解析　∵tan(α＋β)＝，‎ ‎∴tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，‎ 即tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tan(α＋β)tanαtanβ，‎ ‎∴原式＝tanβ.‎ 答案　tanβ ‎4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，‎ 求tan(α＋β)的值．‎ 解　tanβ＝＝＝tan.‎ ‎∵α，β均为锐角，‎ ‎∴－<－α<，0<β<.‎ 又y＝tanx在上为增函数，‎ ‎∴β＝－α，∴α＋β＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝tan＝1.‎ ‎5．已知sinα＝，α∈，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)的值．‎ 解　∵sinα＝，α∈，‎ ‎∴cosα＝＝ ＝.‎ ‎∴tanα＝＝＝.‎ ‎∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝ ‎＝＝.‎ tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝ ‎＝＝2.‎