2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(五十六)　抛 物 线 9页

课时跟踪检测(五十六)　抛 物 线 (分 A、B 卷，共 2 页) A 卷：夯基保分 一、选择题 1．(2015·广东七校联考)抛物线 1 4x2＝y 的焦点坐标是(　　) A．(0,1)　　 B.(0， 1 16)　　 C.(0，1 4 )　 　D．(0,4) 2．(2015·辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是(　　) A．2 B.1 2 C.3 2 D.5 2 3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF| ＝5 4x0，则 x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 ＝4 ，则|QF|＝(　　) A.7 2 B.5 2 C．3 D．2 6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C：y 2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直 线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝(　　) A . 30 3 B．6 C．12 D．7 3 二、填空题 7．(2015·唐山模拟)过抛物线 C：y 2＝4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点， 若 A 到抛物线的准线的距离为 4，则|AB|＝________. 8．(2015·陕西质检)已知点 M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y 2＝2x 的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是________． 9．(2015·洛阳模拟)已知 AB 是抛物线 x2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是 3， 则弦 AB 所在的直线方程是________________________． 10．(2015·绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛 物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若|AB|＝2|AF|，则点 A 的坐标为________． FP FQ 三、解答题 11．(2015·唐山模拟)已知抛物线 E：x2＝2py(p>0)，直线 y＝kx＋2 与 E 交于 A，B 两点， 且 · ＝2，其中 O 为原点． (1)求抛物线 E 的方程； (2)点 C 坐标为(0，－2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k21＋k22－2k2 为定 值． 12．(2015·昆明模拟)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，M∈C，以 M 为 圆心的圆 M 与 l 相切于点 Q，Q 的纵坐标为 3p，E(5,0)是圆 M 与 x 轴的不同于 F 的一个交 点． (1)求抛物线 C 与圆 M 的方程； (2)过 F 且斜率为4 3的直线 n 与 C 交于 A，B 两点，求△ABQ 的面积． OA OB B 卷：增分提能 1．(2015·唐山二模)已知抛物线 E：y 2＝2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M，过点 M 作圆 C：(x－2)2＋y2＝1 的两条切线，切点为 A，B，|AB|＝4 2 3 . (1)求抛物线 E 的方程； (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若 P，Q，O(O 为原点) 三点共线，求点 N 的坐标． 2．(2015·长春三调)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直 线与抛物线相交于 M，N 两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 l∥MN，P 为 l 上一点，求 · 的最小值．PM PN 3. (2015·长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中，点 M (2，－1 2)，点 F 为抛物线 C：y＝ mx2(m＞0)的焦点，线段 MF 恰被抛物线 C 平分． (1)求 m 的值； (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，设直线 FA，FM，FB 的斜率分别为 k1， k2，k3，问 k1，k2，k3 能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线 l 的方程；若不能，请 说明理由． 答案 A 卷：夯基保分 1．选 A　由 1 4x2＝y⇒x2＝4y，于是焦点坐标为(0,1)．故选 A. 2．选 C　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又 p＝1，所以 x1＋x2＝3， 所以点 C 的横坐标是x1＋x2 2 ＝3 2. 3．选 C　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 y＝－(x－p 2 )，与抛物线方程联立 得，Error!消去 y 整理得：x2－3px＋p2 4 ＝0，可得 x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有3p 2 ＝3，p ＝2，因此抛物线的准线方程为 x＝－1. 4．选 A　由题意知抛物线的准线为 x＝－1 4.因为|AF|＝5 4x0，根据抛物线的定义可得 x0＋ 1 4＝|AF|＝5 4x0，解得 x0＝1，故选 A. 5.选 C　过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′，因为 ＝4 ，所以 |PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 故选 C. 6．选 C　抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F( 3 4，0 )，所以 AB 所在的直 线方程为 y＝ 3 3 (x－3 4 )，将 y＝ 3 3 (x－3 4 )代入 y2＝3x，消去 y 整理得 x2－21 2 x＋ 9 16＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1＋x2＝21 2 ，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋ p＝21 2 ＋3 2＝12，故选 C. 7．解析：设 A(xA，yA)，B(xB，yB)， ∵y2＝4x，∴抛物线的准线为 x＝－1，F(1,0)， 又 A 到抛物线准线的距离为 4， ∴xA＋1＝4，∴xA＝3， ∵xAxB＝p2 4 ＝1，∴xB＝1 3， ∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋1 3＋2＝16 3 . 答案：16 3 8．解析：抛物线的准线方程为 x＝－1 2， 当 MQ∥x 轴时，|MQ|－|QF|取得最小值， 此时点 Q 的纵坐标 y＝2，代入抛物线方程 y2＝2x 得 Q 的横坐标 x＝2，则|QM|－|QF|＝ |2＋3|－|2＋1 2 |＝5 2. 答案：5 2 9．解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 的方程为 x＝m(y－1)， 由抛物线的定义及题设可得，y1＋y2＝6， FP FQ 直线与抛物线方程联立消去 x 可得 m2y2－(2m2＋4)y＋m2＝0，则 y1＋y2＝2m2＋4 m2 ， 即 6＝2m2＋4 m2 ，可得 m＝1 或 m＝－1. 故直线方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－1＝0. 答案：x－y＋1＝0 或 x＋y－1＝0 10．解析：依题意，①若点 A 位于 x 轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记 为 A1，则有|AB|＝2|AF|＝2|AA1|，∠BAA1＝60°，直线 AF 的倾斜角为 120°. 又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y＝－ 3(x－1)． 由Error!得Error! 此时点 A 的坐标是( 1 3，2 3 3 ). ②若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是－1， 故点 A 的横坐标是 2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是 y＝－ 4 × 3＝－2 3，点 A 的坐标是 (3，－2 3). 综上所述，点 A 的坐标是(3，－2 3)或( 1 3，2 3 3 ). 答案：(3，－2 3)或( 1 3，2 3 3 )11．解：(1)将 y＝kx＋2 代入 x2＝2py，得 x2－2pkx－4p＝0， 其中 Δ＝4p2k2＋16p>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p. · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x21 2p· x22 2p＝－4p＋4. 由已知，－4p＋4＝2，p＝1 2， 所以抛物线 E 的方程为 x2＝y. (2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2. k1＝y1＋2 x1 ＝x21＋2 x1 ＝x21－x1x2 x1 ＝x1－x2， 同理 k2＝x2－x1， 所以 k21＋k22－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2 ＝－8x1x2＝16. 12．解：(1)由抛物线的定义知，圆 M 经过焦点 F( p 2，0 )， OA OB Q(－p 2， 3p)，点 M 的纵坐标为 3p，又 M∈C，则 M( 3p 2 ， 3p)，|MF|＝2p.由题意，M 是线段 EF 的垂直平分线上的点，所以3p 2 ＝ p 2＋5 2 ，解得 p＝2， 故抛物线 C：y2＝4x，圆 M：(x－3)2＋(y－2 3)2＝16. (2)由题意知直线 n 的方程为 y＝4 3(x－1)， 由Error!解得Error!或Error! 设 A(4,4)，B( 1 4，－1)，则|AB|＝25 4 . 点 Q(－1,2 3)到直线 n：4x－3y－4＝0 的距离 d＝8＋6 3 5 ， 所以△ABQ 的面积 S＝1 2|AB|·d＝20＋15 3 4 . B 卷：增分提能 1．解：(1)由已知得 M(－p 2，0)，C(2,0)． 如图，设 AB 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知，|AR|＝2 2 3 . 于是|CR|＝ |AC|2－|AR|2＝1 3. 由△AMC∽△RAC 得|MC| |AC|＝|AC| |RC|， ∴|MC|＝3，即 2＋p 2＝3，p＝2. 故抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)如图，设 N(s，t)．P，Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点． 圆 D 方程为 (x－s＋2 2 )2＋(y－t 2 )2＝ (s－2)2＋t2 4 ， 即 x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0. ① 又圆 C 方程为 x2＋y2－4x＋3＝0. ② 由②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0. ③ P，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线 PQ 的方程． 因为直线 PQ 经过点 O，所以 3－2s＝0，s＝3 2. 又点 N 在抛物线 E：y2＝4x 上， 所以点 N 的坐标为( 3 2， 6)或( 3 2，－ 6). 2.解：(1)由题意可知 F( p 2，0 )， 则该直线方程为 y＝x－p 2， 代入 y2＝2px(p>0)， 得 x2－3px＋p2 4 ＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8， 即 3p＋p＝8，解得 p＝2， ∴抛物线的方程为 y2＝4x. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋b，代入 y2＝4x， 得 x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵直线 l 为抛物线 C 的切线，∴Δ＝0，解得 b＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x＋1. 由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设 P(m，m＋1)，则 ＝(x1－m，y1－(m＋1))， ＝(x2－m，y2－(m＋1))， ∴ · ＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1， ∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. ∵y21－y22＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4x1－x2 y1－y2＝4， ∴ · ＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2 ＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14， 当且仅当 m＝2 时，即点 P 的坐标为(2,3)时， · 的最小值为－14. 3．解：(1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0， 1 4m)，线段 MF 的中点 N (1， 1 8m－1 4)在抛物线 C 上， ∴ 1 8m－1 4＝m,8m2＋2m－1＝0， ∴m＝1 4(m＝－1 2舍去). PM PN PM PN PM PN PM PN (2)由(1)知抛物线 C：x2＝4y，F(0,1)． 设直线 l 的方程为 y＋1 2＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得 x2－4kx＋8k＋2＝0， Δ＝16k2－4(8k＋2)＞0，∴k＜2－ 6 2 或 k＞2＋ 6 2 . 由根与系数的关系得Error! 假设 k1，k2，k3 能成公差不为零的等差数列，则 k1＋k3＝2k2. 而 k1＋k3＝y1－1 x1 ＋y2－1 x2 ＝x2y1＋x1y2－x2－x1 x1x2 ＝ x2x21 4 ＋x1x22 4 －x2－x1 x1x2 ＝( x1x2 4 －1)(x1＋x2) x1x2 ＝( 8k＋2 4 －1)·4k 8k＋2 ＝4k2－k 4k＋1， k2＝ －1 2－1 2－0 ＝－3 4， ∴4k2－k 4k＋1＝－3 2，8k2＋10k＋3＝0， 解得 k＝－1 2或 k＝－3 4(不合题意，舍去)． ∴直线 l 的方程为 y＋1 2＝－1 2(x－2)，即 x＋2y－1＝0. ∴k1，k2，k3 能成公差不为零的等差数列，此时直线 l 的方程为 x＋2y－1＝0.