2017-2018学年四川省成都石室中学高二4月月考数学（理）试题（Word版） 18页

‎2017-2018学年四川省成都石室中学高二4月月考 数学试卷（理科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．‎ ‎1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是(　　)‎ A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数 C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数 ‎2．的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3．用反证法证明“如果整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( ) ‎ A. 假设a，b，c都是偶数　　 B. 假设a，b，c都不是偶数 ‎ C.假设a，b，c至多有一个偶数　　　 D. 假设a，b，c至多有两个偶数 ‎ ‎4．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 ‎6．已知函数．若在区间内是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）‎ A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 ‎8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于， 两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知，为的导函数，，则 .‎ ‎14．由曲线（为参数）和围成的封闭图形的面积等于___________‎ ‎15．已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为________.‎ ‎16．已知函数，若，对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是________.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 ，直线的参数方程为：(为参数) .‎ ‎（1）写出圆和直线的普通方程；‎ ‎（2）点为圆上动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19．已知直三棱柱的底面为正三角形，分别是，上的点，且满足，．（注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.）‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设直三棱柱的棱均相等，求二面角的余弦值．‎ ‎20．已知函数，若方程有两根，且.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：‎ ‎（3）证明：.‎ ‎21．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶的右焦点F和上顶点B.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程；‎ ‎(2)如图，过原点O的射线与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．‎ ‎22．已知函数，曲线在点处的切线方程是 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若当时，恒有成立，求的取值范围；‎ ‎（3）若，试估计的值（精确到）‎ 成都石室中学2017—2018学年度下期高2019届四月月考 数学试卷（理科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项．‎ ‎1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是(　　)‎ A．实数分为有理数和无理数 B．π不是有理数 C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数 ‎【解析】演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.‎ ‎【答案】C ‎2．的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎3．用反证法证明“如果整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( ) ‎ A. 假设a，b，c都是偶数　　 B. 假设a，b，c都不是偶数 ‎ C.假设a，b，c至多有一个偶数　　　 D. 假设a，b，c至多有两个偶数 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】反设时“至少有一个”的否定是“都不是”．‎ ‎4．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：利用导数求切线方程.‎ ‎5．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 ‎【答案】C ‎【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.‎ ‎6．已知函数．若在区间内是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,由题意得当时,故选A.‎ ‎7．甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是（ ）‎ A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人 C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人 ‎【答案】C ‎8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎9．已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】：由题意正方形的中心就是球心，当四棱锥体积最大时，平面，此时，，．故选B．‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎11．已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于， 两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. []‎ ‎【答案】D ‎12．若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 本题选择B选项.‎ 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知，为的导函数，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为,所以.‎ ‎14．由曲线（为参数）和围成的封闭图形的面积等于___________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为，结合图象可得：‎ ‎ ‎ ‎15．已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎16．已知函数，若，对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】 ‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 ，直线的参数方程为：(为参数) .‎ ‎（1）写出圆和直线的普通方程；‎ ‎（2）点为圆上动点，求点到直线的距离的最小值.‎ 解：（1）由已知得，‎ 所以，即圆的普通方程为：. …………3分 由,得，所以直线的普通方程为. …6分 ‎（2）方法一：由圆的几何性质知点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，令圆心到直线的距离为，则，………9分 所以最小值.……………………………………………………………………10分 方法二：令，………………………………………………7分 设点到直线的距离为.‎ 20. ‎.………………………………………10分18．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求在区间上的最大值和最小值.‎ 解：(1)‎ 令 得 ‎ 函数的单调减区间为………………5分 （2） 当，则 由（1）知 ‎ 令 得 ‎+‎ ‎0‎ 极大值 ‎ ………………10分 ‎ ………………12分 ‎19．已知直三棱柱的底面为正三角形，分别是，上的点，且满足，．（注意：直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱.）‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设直三棱柱的棱均相等，求二面角的余弦值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间平面与平面的垂直关系、运用空间向量求二面角，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力、逻辑推证能力、计算能力．[]‎ ‎（2）以为坐标原点，以分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．………6分 设直三棱柱的棱均为，则，，，‎ 所以，．………8分 设是平面的一个法向量，则 由，得，取，则．………9分 易知平面的一个法向量，………10分 所以．…………11分 由图易知，二面角为锐角，二面角的余弦值为…12分 ‎20．已知函数，若方程有两根，且.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：‎ ‎（3）证明：.‎ 解：（1）由得：，‎ 在上减，在上增. ,‎ 因为,时, ‎ 所以, 的取值范围是………5分 ‎(2) 证明:由（1）知: 在上减，在上增. ‎ 而,所以 令,‎ 所以………9分[来源:]‎ 在上为增, ‎ 所以当时， ………9分 ‎(3)证明:由(2) 时， ,考虑代入得:‎ ‎,结合知: ‎ 因为,,而在上增.‎ 所以: .得.………12分 ‎21．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶的右焦点F和上顶点B.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程；‎ ‎(2)如图，过原点O的射线与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．‎ 当时，，‎ 即的最大值为.‎ ‎22．已知函数，曲线在点处的切线方程是 ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）若当时，恒有成立，求的取值范围；‎ ‎ （3）若，试估计的值（精确到）‎ 解： (1)f¢(x)= 由题意：f¢(1)== f(1)== 解得：a=1,b=2………………3分 ‎(2)由（1）知：f(x)= 由题意： ≥0对恒成立。‎ ‎ 令，。注意到 ‎ ‎ =1+- ……………5分 当对恒成立1+x+恒成立,此时，‎ 所以：满足题意. ………6分 当时,令得 在时，=0‎ 这与F（x）≥0矛盾，∴k>2时不合题意 综上所述，k的取值范围是（-∞,2] ………………8分 ‎（3）由(2)知：当k≤2时，在时恒成立 取k=2，则 即：≥2ln(1+x)‎ 令>0得： ∴≈0.2236………………10分 由(2)知：当时，在时成立 令 解得：‎ ‎∴在上成立 取得 ∴≈0.2222‎ ‎∴ln==0.2229 ∵精确到0.001 ∴取ln=0.223………………12分