2020届二轮复习排列与组合课件课件（70张）（全国通用） 70页

KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以解答题为主，难度为中档 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1 . 排列与组合的概念 ZHISHISHULI 名称 定义 排列 从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素 按照 ___________ 排成一列 组合 合成一组 一定的顺序 2. 排列数与组合数 (1) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的 _________ 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 ____ 表示 . (2) 组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的 _________ 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 ____ 表示 . 所有排列 所有组合 公式 性质 (3)0 ！＝ __ ； A ＝ ___ 3. 排列数、组合数的公式及性质 n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) 1 n ！ 【概念方法微思考】 1. 排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示　 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合 . 2. 排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？ (2) 两种形式分别为： ① 连乘积形式； ② 阶乘形式 . 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证 . 3. 解排列组合综合应用问题的思路有哪些？ 提示　 解排列组合综合应用题要从 “ 分析 ”“ 分辨 ”“ 分类 ”“ 分步 ” 的角度入手 . “ 分析 ” 是找出题目的条件、结论，哪些是 “ 元素 ” ，哪些是 “ 位置 ” ； “ 分辨 ” 就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等； “ 分类 ” 就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决； “ 分步 ” 就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决 . 基础自测 JICHUZICE 题组一　思考辨析 1 2 3 4 5 6 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 .( 　　 ) (2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 .( 　　 ) (3)( n ＋ 1) ！－ n ！＝ n · n ！ .( 　　 ) × √ √ × √ 题组二　教材改编 2.[P29 习题 T5]6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ___. 1 2 3 4 5 6 解析　 “ 插空法 ” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 ＝ 4 × 3 × 2 ＝ 24. 24 1 2 3 4 5 6 3.[P24 习题 T7] 某校拟从 4 名男教师和 5 名女教师中各选 2 名教师开设公开课，则男教师 A 和女教师 B 至少有一名被选中的不同选法的种数是 ____. 42 故男教师 A 和女教师 B 至少有一名被选中的不同选法的种数是 60 － 18 ＝ 42. 题组三　易错自纠 4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 _____ 种 . 1 2 3 4 5 6 所以共有 120 ＋ 96 ＝ 216( 种 ) 排法 . 216 1 2 3 4 5 6 5. 为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为 _____. 540 故不同的选派方案种数为 90 ＋ 360 ＋ 90 ＝ 540. 6. 寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 A ， B ， C ， D ， E 五个座位 ( 一排共五个座位 ) ，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 ____ 种 .( 用数字作答 ) 1 2 3 4 5 6 45 解析　 设 5 名同学也用 A ， B ， C ， D ， E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC ， BDAC ， BCDA ， CADB ， CDAB ， CDBA ， DABC ， DCAB ， DCBA ，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 9 × 5 ＝ 45( 种 ). 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　排列问题 自主演练 解析　 根据题意知，要求这个五位数比 20 000 大，则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数字中的一个，当首位是 3 时，百位数不是数字 3 ，符合要求的五位数有 ＝ 24( 个 ) ； 1. 用 1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有 ____ 个 . 78 解析　 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数， 2. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 ______ 条毕业留言 .( 用数字作答 ) 1 560 3.6 名同学站成 1 排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有 _____ 种不同站法 . 480 解析　 方法一　 ( 位置优先法 ) 先从其他 5 人中安排 2 人站在最左边和最右边，再安排余下 4 人的位置，分为两步： 方法二　 ( 元素优先法 ) 先安排甲的位置 ( 既不站在最左边又不站在最右边 ) ，再安排其他 5 人的位置，分为两步： 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 . (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 . 题型二　组合问题 师生共研 例 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名 . 现选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1) 男运动员 3 名，女运动员 2 名； 解　 分两步完成： (2) 至少有 1 名女运动员； 解　 方法一　 “ 至少有 1 名女运动员 ” 包括以下四种情况： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 . 方法二　 “ 至少有 1 名女运动员 ” 的反面为 “ 全是男运动员 ” ，可用间接法求解 . (3) 队长中至少有 1 人参加； 解　 方法一　 ( 直接法 ) 可分类求解： (4) 既要有队长，又要有女运动员 . 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化： (1) “ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 . (2) “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “ 至少 ” 与 “ 至多 ” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 . 跟踪训练 1 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货 . 现从 35 种商品中选取 3 种 . (1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ ∴ 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 . (2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ ∴ 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 . (3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ ∴ 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 . (4) 至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ ∴ 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 . (5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解　 方法一　 ( 间接法 ) ∴ 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 . 方法二　 ( 直接法 ) ∴ 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 . 题型三　组合数的性质 师生共研 证明　 当 n ＝ m 时，结论显然成立 . k ＝ m ＋ 1 ， m ＋ 2 ， … ， n . k ＝ m ＋ 1 ， m ＋ 2 ， … ， n . 思维升华 (1) 组合数的性质可结合实际问题理解记忆 . (1) 求 f 4 (2) ， f 4 (5) 的值； 命题点 1 　相邻问题 题型四　排列与组合的综合问题 多维探究 例 3 为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有 ____ 种 . 360 解析　 甲校派 1 人，其余 5 人分为 (1,4) ， (2,3) 两组， 甲校派 2 人，其余 4 人分为 (1,3) ， (2,2) 两组， 甲校派 3 人，其余 3 人分为 (1,2) 一组， 甲校派 4 人，共余 2 人分为 (1,1) 一组， 根据分类计数原理，可得共有 150 ＋ 140 ＋ 60 ＋ 10 ＝ 360( 种 ) 分配方案 . 例 4 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ____. 120 命题点 2 　相间问题 故共有 36 ＋ 36 ＋ 48 ＝ 120( 种 ) 安排方法 . 解析 　 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空 . 安排小品节目和相声节目的顺序有三种： “ 小品 1 ，小品 2 ，相声 ”“ 小品 1 ，相声，小品 2 ” 和 “ 相声，小品 1 ，小品 2 ” . 同理，第三种情况也有 36 种安排方法， 命题点 3 　特殊元素 ( 位置 ) 问题 例 5 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在 . 某城市关系要好的 A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名 ( 乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置 ) ，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ____ 种 . 24 解析　 根据题意，分两种情况讨论： ① A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， ② A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 故共有 12 ＋ 12 ＝ 24( 种 ) 乘坐方式 . 思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则 ① 按元素 ( 位置 ) 的性质进行分类； ② 按事情发生的过程进行分步 . 具体地说，解排列、组合问题常以元素 ( 位置 ) 为主体，即先满足特殊元素 ( 位置 ) ，再考虑其他元素 ( 位置 ). 跟踪训练 3 (1) 把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 ____ 种 . 36 (2) 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有 _____ 种不同的选法 .( 用数字作答 ) 660 3 课时作业 PART THREE 1. “ 中国梦 ” 的英文翻译为 “ China Dream ” ，其中 China 又可以简写为 CN ，从 “ CN Dream ” 中取 6 个不同的字母排成一排，含有 “ ea ” 字母组合 ( 顺序不变 ) 的不同排列共有 _____ 种 . 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 600 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ____. 72 解析　 由题意可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 ____. 24 解析　 将 4 个车位捆绑在一起，看成一个元素， 再将捆绑在一起的 4 个车位插入 4 个空档中，有 4 种方法， 故共有 4 × 6 ＝ 24( 种 ) 方法 . 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 ___ 种 . 36 解析　 由题意可知，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作， 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 从 A ， B ， C ， D ， E ， F 这 6 种不同的花朵中选出 4 种，插入 4 只不同的花瓶中展出，如果第 1 只花瓶内不能插入 C ，那么不同的插法种数为 _____. 300 当选出的四朵花包含 C 时，先选出 3 朵花和 C 一起排列， 根据分类计数原理得共有 120 ＋ 180 ＝ 300( 种 ) 不同的插法 . 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 有 7 个座位连成一排，现有 4 人就坐，则恰有 2 个空座位相邻的不同坐法有 ____ 种 .( 用数字作答 ) 480 解析　 根据题意，分 2 步进行分析： 则恰有 2 个空座位相邻的不同坐法有 24 × 20 ＝ 480( 种 ). 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ____.( 用数字作答 ) 120 ∴ 共有 45 ＋ 60 ＋ 15 ＝ 120( 种 ) 不同的选取方式 . 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 ____ 种 .( 用数字作答 ) 60 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(2018· 南通模拟 ) 要从甲、乙等 8 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 ____ 种 .( 用数字作答 ) 120 故不同的发言顺序共有 12 × 10 ＝ 120( 种 ). 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 某宾馆安排 A ， B ， C ， D ， E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A ， B 不能住同一房间，则共有 _____ 种不同的安排方法 .( 用数字作答 ) 114 故有 60 － 18 ＝ 42( 种 ) ， 故有 90 － 18 ＝ 72( 种 ) ， 根据分类计数原理可知，共有 42 ＋ 72 ＝ 114( 种 ) 不同的安排方法 . 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 某区有 7 条南北向街道， 5 条东西向街道 ( 如图所示 ). (1) 图中共有多少个矩形？ 解　 在 7 条竖线中任选 2 条， 5 条横线中任选 2 条，这样 4 条线可组成 1 个矩形， 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 从点 A 到点 B 最近的走法有多少种？ 解　 每条东西向的街道被分成 6 段，每条南北向的街道被分成 4 段， 每种走法，即是从 10 段中选出 6 段，这 6 段是走东西方向的， 从 A 到 B 最短的走法，无 论怎样走，一定包括 10 段， 其中 6 段方向相同，另外 4 段方向相同， 所以共有 210 种走法 . 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 设 n ≥ 3 ， n ∈ N * ，在集合 {1,2 ， … ， n } 的所有元素个数为 2 的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为 a ，较小元素之和记为 b . (1) 当 n ＝ 3 时，求 a ， b 的值； 解　 当 n ＝ 3 时，集合 {1,2,3} 的所有元素个数为 2 的子集为 {1,2} ， {1,3} ， {2,3} ， 所以 a ＝ 2 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 8 ， b ＝ 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 4. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明 　 当 n ≥ 3 ， n ∈ N * 时，依题意， ＝ 2 × 1 ＋ 3 × 2 ＋ 4 × 3 ＋ … ＋ ( n － 1) × ( n － 2) ＋ n × ( n － 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为 _____. 360 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 设三位数 n ＝ ，若以 a ， b ， c 为三条边的长可以构成一个等腰 ( 含等边 ) 三角形，则这样的三位数 n 有多少个？ 16 解　 a ， b ， c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0 ，即 a ， b ， c ∈ {1,2,3 ， … ， 9}. ① 若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n 1 ， ② 若构成等腰 ( 非等边 ) 三角形，设这样的三位数的个数为 n 2 ， 由于三位数中只有 2 个不同数字，设为 a ， b ，注意到三角形腰与底可以互换， 但当大数为底时，设 a > b ，必须满足 b < a <2 b ，此时，不能构成三角形的数字是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 b 4,3,2,1 4,3,2,1 3,2,1 3,2,1 1,2 1,2 1 1 共 20 种情况 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上， n ＝ n 1 ＋ n 2 ＝ 165. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在 a ， b ， c 三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有 ____ 种 . 150 解析　 这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能： 满足题意的安排方法共有 90 ＋ 60 ＝ 150( 种 ).