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  • 2021-06-30 发布

2020-2021学年高一数学单元知识梳理:一元二次函数、方程和不等式

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2020-2021 学年高一数学单元知识梳理:一元二次函数、方程和不等式 1.比较数(式)的大小 依据:a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b. 适用范围:若数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式. 步骤:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论. 变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化. 2.利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键,要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时成立. (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知 的不等式入手,借助不等式的性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证 结论,其特征是“由因导果”. (3)证明不等式时要注意灵活变形,可以多次利用基本不等式的变形形式. 3.利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值,必须同时满足以下三个条件:一正、二定、三相等. 即:①x,y 都是正数. ②积 xy(或和 x+y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值). ③x 与 y 必须能够相等(等号能够取到). (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换;②拆项变换;③统一换元;④平方后利用基本不等式. 4.解一元二次不等式的步骤 当 a>0 时,解形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式的 一般步骤如下: (1)确定对应方程 ax2+bx+c=0 的解; (2)画出对应函数 y=ax2+bx+c 的图象的简图; (3)由图象写出不等式的解集. 特别提醒:(1)在通过图象获取解集时,注意不等式中的不等号方向、是否为严格不 等关系及 Δ=0 时的特殊情况. (2)当 a<0 时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时 图象开口向下);②两边同乘以-1,把 a 转变为-a 再进行求解. 5.一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用,主要有范围问题、 最值问题等.解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型.解题 的一般步骤是: (1)理清题意:弄清问题的实际背景和意义,用数学语言来描述问题. (2)简化假设:精选问题中的关键变量. (3)列出关系式:建立变量间的不等关系式. (4)求解:运用数学知识解相应不等式. (5)检验并作答:将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况,然后给出 问题的答案. 一、常数代换法 【典例 1】已知正数 x,y 满足 x+y=1,则1 푥 + 4 1+푦的最小值为( ) A.5 B.14 3 C.9 2 D.2 【答案】C 【解析】∵x+y=1,所以,x+(1+y)=2, 则 2(1 푥 + 4 1+푦) = [푥 + (1 + 푦)](1 푥 + 4 1+푦) = 4푥 1+푦 + 1+푦 푥 + 5 ≥ 2√ 4푥 1+푦 ⋅ 1+푦 푥 + 5 = 9, 所以,1 푥 + 4 1+푦 ≥ 9 2, 当且仅当{ 4푥 1+푦 = 1+푦 푥 푥 + 푦 = 1 ,即当{ 푥 = 2 3 푦 = 1 3 时,等号成立, 因此,1 푥 + 4 1+푦的最小值为9 2,故选:C. 二、消元法 【典例 2】设 x,y,z 为正实数,满足 x﹣2y+3z=0,则푦2 푥푧的最小值是 . 【答案】3 【解析】∵x﹣2y+3z=0,∴푦 = 푥+3푧 2 , ∴푦2 푥푧 = 푥2+9푧2+6푥푧 4푥푧 ≥ 6푥푧+6푥푧 4푥푧 = 3,当且仅当 x=3z 时取“=”. 故答案为 3. 三、配凑法 1.从和或积为定值的角度入手配凑 某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值,在不等式的变形中,配凑出这 些定值,可使问题巧妙获解.常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等 常规运算和技巧. 【典例 3】设 x>0,y>0,x2+ 2 2y =1,求 21 yx  的最大值. 【解析】∵x>0,y>0,x2 与 的和为定值, ∴ = )1( 22 yx  = 4 23 2 2 1 22 12 2 2 2 2    yxyx ,当且仅当 2 1 2 2 yx  , 即 2 2,2 3  yx 时取等号,即 的最大值为 4 23 . 【典例 4】已知 x,y,z 为正数,且满足 xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值. 【解析】由条件得 x+y+z= xyz 1 ,则(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=y(x+y+z)+xz= y· +xz= xz 1 +xz≥2,当且仅当 =xz,即 xz=1 时取等号,故(x+y)(y+z)的最小 值为 2. 【典例 5】设 a1,a2,a3,…,an 均为正实数,求证: 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n   ≥a1+a2 +a3+…+an. 【解析】为了约去 1 2 k k a a 中的分母,可考虑配上一项 ak+1,于是有 2 2 1 a a +a2≥2a1, 3 2 2 a a + a3≥2a2,… n n a a 2 1 +an≥2an-1, 1 2 a a n +a1≥2an,当且仅当 a1=a2=…=an 时取等号.以 上不等式相加,化简,可得原不等式成立. 2.从取等号的条件入手配凑 在题中约束条件下,各变元将取某个特定值,这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑. 【典例 6】设 a,b,c>0,a+b+c=1,求 131313  cba 的最大值. 【解析】 2 33 2 132132  aaa , 2 33132,2 33132  ccbb . 以 上 三 式 相 加 , 并 利 用 a + b+ c = 1 ,得 2 ( )≤6 ,故 131313  cba 的最大值为 3 2 . 四、判别式法在“三个二次”问题中的应用 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切,习惯上称为“三个二次” 问题.根据判别式法在解一元二次方程中的作用,可见判别式法在“三个二次”问题中 的重要性. 1.求变量的取值范围 【典例 7】不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 【解析】(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立. ①若 m2-2m-3=0,则 m=-1 或 m=3. 当 m=-1 时,不符合题意;当 m=3 时,符合题意. ②若 m2-2m-3≠0,设 y=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立. 则 m2-2m-3<0,Δ=b2-4ac=5m2-14m-3<0, 解得- 5 1 0 恒成立. 【解析】不等式可变形为y2+2xy+2x2-4x+5>0,将不等式左边看作关于y的二次函数, 令 z=y2+2xy+2x2-4x+5,则关于 y 的一元二次方程 y2+2xy+2x2-4x+5=0 的根的 判别式 Δ=4x2-4(2x2-4x+5)=-4(x-2)2-4<0,即 Δ<0.则对于二次函数 z=y2+2xy+ 2x2-4x+5,其图象开口向上,且在 x 轴上方,所以 z>0 恒成立,即 2x2+2xy+y2-4x +5>0 恒成立. 五、含变量的不等式恒成立问题 【典例 10】对于满足 0≤p≤4 的一切实数,不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立,试求 x 的取值范围. 【解析】原不等式可化为 x2+px-4x-p+3>0, 令 y=x2+px-4x-p+3 =(x-1)p+(x2-4x+3). 题设得      )4(034)1(4 )0(034 2 2 pxxx pxx 解得 x>3 或 x<-1. 故 x 的取值范围是 x<-1 或 x>3.