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- 2021-06-30 发布
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2020-2021 学年高一数学单元知识梳理:一元二次函数、方程和不等式
1.比较数(式)的大小
依据:a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b.
适用范围:若数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式.
步骤:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.
变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化.
2.利用基本不等式证明不等式
(1)充分利用条件是关键,要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时成立.
(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知
的不等式入手,借助不等式的性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证
结论,其特征是“由因导果”.
(3)证明不等式时要注意灵活变形,可以多次利用基本不等式的变形形式.
3.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值,必须同时满足以下三个条件:一正、二定、三相等.
即:①x,y 都是正数.
②积 xy(或和 x+y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值).
③x 与 y 必须能够相等(等号能够取到).
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换;②拆项变换;③统一换元;④平方后利用基本不等式.
4.解一元二次不等式的步骤
当 a>0 时,解形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式的
一般步骤如下:
(1)确定对应方程 ax2+bx+c=0 的解;
(2)画出对应函数 y=ax2+bx+c 的图象的简图;
(3)由图象写出不等式的解集.
特别提醒:(1)在通过图象获取解集时,注意不等式中的不等号方向、是否为严格不
等关系及 Δ=0 时的特殊情况.
(2)当 a<0 时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时
图象开口向下);②两边同乘以-1,把 a 转变为-a 再进行求解.
5.一元二次不等式的实际应用
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用,主要有范围问题、
最值问题等.解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型.解题
的一般步骤是:
(1)理清题意:弄清问题的实际背景和意义,用数学语言来描述问题.
(2)简化假设:精选问题中的关键变量.
(3)列出关系式:建立变量间的不等关系式.
(4)求解:运用数学知识解相应不等式.
(5)检验并作答:将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况,然后给出
问题的答案.
一、常数代换法
【典例 1】已知正数 x,y 满足 x+y=1,则1
푥 + 4
1+푦的最小值为( )
A.5 B.14
3 C.9
2 D.2
【答案】C
【解析】∵x+y=1,所以,x+(1+y)=2,
则 2(1
푥 + 4
1+푦) = [푥 + (1 + 푦)](1
푥 + 4
1+푦) = 4푥
1+푦 + 1+푦
푥 + 5 ≥ 2√ 4푥
1+푦 ⋅ 1+푦
푥 + 5 = 9,
所以,1
푥 + 4
1+푦 ≥ 9
2,
当且仅当{
4푥
1+푦 = 1+푦
푥
푥 + 푦 = 1
,即当{
푥 = 2
3
푦 = 1
3
时,等号成立,
因此,1
푥 + 4
1+푦的最小值为9
2,故选:C.
二、消元法
【典例 2】设 x,y,z 为正实数,满足 x﹣2y+3z=0,则푦2
푥푧的最小值是 .
【答案】3
【解析】∵x﹣2y+3z=0,∴푦 = 푥+3푧
2 ,
∴푦2
푥푧 = 푥2+9푧2+6푥푧
4푥푧 ≥ 6푥푧+6푥푧
4푥푧 = 3,当且仅当 x=3z 时取“=”.
故答案为 3.
三、配凑法
1.从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值,在不等式的变形中,配凑出这
些定值,可使问题巧妙获解.常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等
常规运算和技巧.
【典例 3】设 x>0,y>0,x2+
2
2y =1,求 21 yx 的最大值.
【解析】∵x>0,y>0,x2 与 的和为定值,
∴ = )1( 22 yx =
4
23
2
2
1
22
12
2
2
2
2
yxyx ,当且仅当
2
1 2
2 yx ,
即
2
2,2
3 yx 时取等号,即 的最大值为
4
23 .
【典例 4】已知 x,y,z 为正数,且满足 xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值.
【解析】由条件得 x+y+z=
xyz
1 ,则(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=y(x+y+z)+xz=
y· +xz=
xz
1 +xz≥2,当且仅当 =xz,即 xz=1 时取等号,故(x+y)(y+z)的最小
值为 2.
【典例 5】设 a1,a2,a3,…,an 均为正实数,求证:
1
22
1
3
2
2
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a n
n
n ≥a1+a2
+a3+…+an.
【解析】为了约去
1
2
k
k
a
a 中的分母,可考虑配上一项 ak+1,于是有
2
2
1
a
a +a2≥2a1,
3
2
2
a
a +
a3≥2a2,…
n
n
a
a 2
1 +an≥2an-1,
1
2
a
a n +a1≥2an,当且仅当 a1=a2=…=an 时取等号.以
上不等式相加,化简,可得原不等式成立.
2.从取等号的条件入手配凑
在题中约束条件下,各变元将取某个特定值,这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑.
【典例 6】设 a,b,c>0,a+b+c=1,求 131313 cba 的最大值.
【解析】
2
33
2
132132 aaa ,
2
33132,2
33132 ccbb .
以 上 三 式 相 加 , 并 利 用 a + b+ c = 1 ,得 2 ( )≤6 ,故
131313 cba 的最大值为 3 2 .
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切,习惯上称为“三个二次”
问题.根据判别式法在解一元二次方程中的作用,可见判别式法在“三个二次”问题中
的重要性.
1.求变量的取值范围
【典例 7】不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值
范围.
【解析】(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立.
①若 m2-2m-3=0,则 m=-1 或 m=3.
当 m=-1 时,不符合题意;当 m=3 时,符合题意.
②若 m2-2m-3≠0,设 y=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对任意 x∈R 恒成立.
则 m2-2m-3<0,Δ=b2-4ac=5m2-14m-3<0,
解得-
5
1 0 恒成立.
【解析】不等式可变形为y2+2xy+2x2-4x+5>0,将不等式左边看作关于y的二次函数,
令 z=y2+2xy+2x2-4x+5,则关于 y 的一元二次方程 y2+2xy+2x2-4x+5=0 的根的
判别式 Δ=4x2-4(2x2-4x+5)=-4(x-2)2-4<0,即 Δ<0.则对于二次函数 z=y2+2xy+
2x2-4x+5,其图象开口向上,且在 x 轴上方,所以 z>0 恒成立,即 2x2+2xy+y2-4x
+5>0 恒成立.
五、含变量的不等式恒成立问题
【典例 10】对于满足 0≤p≤4 的一切实数,不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立,试求 x
的取值范围.
【解析】原不等式可化为 x2+px-4x-p+3>0,
令 y=x2+px-4x-p+3
=(x-1)p+(x2-4x+3).
题设得
)4(034)1(4
)0(034
2
2
pxxx
pxx 解得 x>3 或 x<-1.
故 x 的取值范围是 x<-1 或 x>3.