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  • 2021-06-30 发布

2017-2018学年山西省榆社中学高二4月月考数学(理)试题 Word版

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2017-2018 学年山西省榆社中学高二 4 月月考数学试题(理科) 2018.04 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若 ,则 A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 4. 已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 ,则 A. i B. 1 C. D. 5. 已知曲线 在点 处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为 A. B. C. D. 2 6. 用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是 A. B. C. D. 7. 设 ,则 的值为 A. B. C. D. 8. 与 的关系为 A. B. C. D. 9. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 10. 观察下列各式: ,则 A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 11. 设点 P 是曲线 上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取值范围 是 A. B. C. D. 12. 已知定义在 R 上的偶函数 ,其导函数为 ;当 时,恒有 ,若 ,则不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 如图所示,图中曲线方程为 ,则围成封闭图形阴影部分的面积是______ . 14. 若由曲线 与直线 及 y 轴所围成的平面图形的面积 ,则 ______ . 15. 已知 为偶函数,当 时, ,则曲线 在点 处 的切线方程是______. 16. 已知边长分别为 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 的半径为 r,连接 , 则三角形 的面积分别为 ,由 得 , 类比得四面体的体积为 V,四个面的面积分别为 ,则内切球的半径 ______ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 72.0 分) 17. 已知 . 求 的单调区间; 求函数 在 上的最值. 18. 已知函数 ,在点 处的切线方程为 ,求 实数 的值; 函数 的单调区间以及在区间 上的最值. 19. 已知曲线 及曲线 上一点 . 求曲线 在 P 点处的切线方程;Ⅱ求曲线 过 P 点的切线方程. 20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的 能源消耗费用 单位:万元与隔热层厚度 单位: 满足关系: , 设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.Ⅰ求 的表达式;Ⅱ隔热层修建 多厚对,总费用 达到最小,并求最小值. 21. 已知函数 Ⅰ当 时,求 在区间 上的最大值和最小值; Ⅱ求 在 处的切线方程;Ⅲ若在区间 上, 恒成立,求实数a 的取值范围. 22. 已知函数 . 讨论 的单调性; 若 有两个零点,求 a 的取值范围. 答案和解析 【答案】 1. D 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9. B 10. B 11. B 12. A 13. 2 14. 3 15. 16. 17. 解:依题意得, , 定义域是 分 , 令 0'/>,得 或 ;令 ,得 , 且函数定义域是 , 函数 的单调增区间是 ,单调递减区间是 分 令 ,得 舍, 由于函数在区间 上为减函数,区间 上为增函数, 且 , 在 上的最大值是 ,最小值是 分 18. 解: 因为在点 处的切线方程为 , 所以切线斜率是 ---------------------- 分 且 , 求得 ,即点 ---------------------- 分 又函数 ,则 ---------------------- 分 所以依题意得 ---------------------- 分 解得 ---------------------- 分 由 知 所以 ---------------------- 分 令 ,解得 或 当 或 ;当 所以函数 的单调递增区间是 单调递减区间是 ---------------------- 分 又 所以当 x 变化时, 和 变化情况如下表: X 0 2 3 0 0 4 极小值 1 所以当 时, , ---------------------- 分 19. 解: , . 则在 处直线的斜率 , 所求直线的方程为 . 设切点坐标为 , 则直线 l 的斜率 , , , 解得 或 . ,所求直线的方程为 ,所求直线斜率 , 于是所求直线的方程为 ,即 . 综上所述,所求直线的方程为 或 . 20. 解: 每年能源消耗费用为 ,建造费用为 6x, . ,令 得 或 舍. 当 时, ,当 时, . 在 上单调递减,在 上单调递增. 当 时, 取得最小值 . 当隔热层修建 5cm 厚时,总费用最小,最小值为 70 万元. 21. 解: 当 时, . 对于 恒成立, 在区间 上单调递增. . . . 在 处的切线方程是 ,即 ; 函数 的定义域为 . 当 时,恒有 , 函数 在区间 上单调递减. 要满足在区间 上, 恒成立,则 即可,解得 . 实数 a 的取值范围是 . 当 时,令 ,解得 . 当 时,即 时,在区间 上有 ,此时 在此区间上单调递增, 不合题意,应舍去. 当 时,即 ,在区间 上有 ,此时 单调递增,不合题意. 综上 可知:实数 a 的取值范围是 . 22. 解: 由 ,求导 , 当 时, , 当 单调递减, 当 时, , 令 ,解得: , 当 ,解得: , 当 ,解得: , 时, 单调递减, 单调递增; 当 时, ,恒成立, 当 单调递减, 综上可知:当 时, 在 R 单调减函数, 当 时, 在 是减函数,在 是增函数; 若 时,由 可知: 最多有一个零点, 当 时, , 当 时, , 当 时, , 当 ,且远远大于 和 x, 当 , 函数有两个零点, 的最小值小于 0 即可, 由 在 是减函数,在 是增函数, , ,即 , 设 ,则 , 求导 ,由 , ,解得: , 的取值范围 . 方法二: 由 ,求导 , 当 时, , 当 单调递减, 当 时, , 令 ,解得: , 当 ,解得: , 当 ,解得: , 时, 单调递减, 单调递增; 当 时, ,恒成立, 当 单调递减, 综上可知:当 时, 在 R 单调减函数, 当 时, 在 是减函数,在 是增函数; 若 时,由 可知: 最多有一个零点, 当 时,由 可知:当 时, 取得最小值, , 当 ,时, ,故 只有一个零点, 当 时,由 ,即 , 故 没有零点, 当 时, , 由 , 故 在 有一个零点, 假设存在正整数 ,满足 ,则 , 由 , 因此在 有一个零点. 的取值范围 .

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