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- 2021-06-30 发布
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2017-2018 学年山西省榆社中学高二 4 月月考数学试题(理科)
2018.04
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1. 若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若 ,则
A. B. C. D.
3. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
4. 已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 ,则
A. i B. 1 C. D.
5. 已知曲线 在点 处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为
A. B. C. D. 2
6. 用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是
A.
B.
C.
D.
7. 设 ,则 的值为
A. B. C. D.
8. 与 的关系为
A. B.
C. D.
9. 函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
10. 观察下列各式: ,则
A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
11. 设点 P 是曲线 上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取值范围
是
A. B. C. D.
12. 已知定义在 R 上的偶函数 ,其导函数为 ;当 时,恒有 ,若
,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
13. 如图所示,图中曲线方程为 ,则围成封闭图形阴影部分的面积是______ .
14. 若由曲线 与直线 及 y 轴所围成的平面图形的面积
,则 ______ .
15. 已知 为偶函数,当 时, ,则曲线 在点 处
的切线方程是______.
16. 已知边长分别为 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 的半径为 r,连接 ,
则三角形 的面积分别为 ,由 得 ,
类比得四面体的体积为 V,四个面的面积分别为 ,则内切球的半径 ______ .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 72.0 分)
17. 已知 .
求 的单调区间;
求函数 在 上的最值.
18. 已知函数 ,在点 处的切线方程为 ,求
实数 的值;
函数 的单调区间以及在区间 上的最值.
19. 已知曲线 及曲线 上一点 .
求曲线 在 P 点处的切线方程;Ⅱ求曲线 过 P 点的切线方程.
20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建
筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的
能源消耗费用 单位:万元与隔热层厚度 单位: 满足关系: ,
设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.Ⅰ求 的表达式;Ⅱ隔热层修建
多厚对,总费用 达到最小,并求最小值.
21. 已知函数 Ⅰ当 时,求 在区间 上的最大值和最小值;
Ⅱ求 在 处的切线方程;Ⅲ若在区间 上, 恒成立,求实数a
的取值范围.
22. 已知函数 .
讨论 的单调性;
若 有两个零点,求 a 的取值范围.
答案和解析
【答案】
1. D 2. B 3. D 4. A 5. B 6. D 7. A
8. B 9. B 10. B 11. B 12. A
13. 2
14. 3
15.
16.
17. 解:依题意得, ,
定义域是 分
,
令 0'/>,得 或 ;令 ,得 ,
且函数定义域是 ,
函数 的单调增区间是 ,单调递减区间是 分
令 ,得 舍,
由于函数在区间 上为减函数,区间 上为增函数,
且 ,
在 上的最大值是 ,最小值是 分
18. 解: 因为在点 处的切线方程为 ,
所以切线斜率是 ---------------------- 分
且 ,
求得 ,即点 ---------------------- 分
又函数 ,则 ---------------------- 分
所以依题意得 ---------------------- 分
解得 ---------------------- 分
由 知
所以 ---------------------- 分
令 ,解得 或
当 或 ;当
所以函数 的单调递增区间是
单调递减区间是 ---------------------- 分
又
所以当 x 变化时, 和 变化情况如下表:
X 0 2 3
0 0
4 极小值 1
所以当 时, ,
---------------------- 分
19. 解: ,
.
则在 处直线的斜率 ,
所求直线的方程为 .
设切点坐标为 ,
则直线 l 的斜率 ,
,
,
解得 或 .
,所求直线的方程为
,所求直线斜率 ,
于是所求直线的方程为 ,即 .
综上所述,所求直线的方程为 或 .
20. 解: 每年能源消耗费用为 ,建造费用为 6x,
.
,令 得 或 舍.
当 时, ,当 时, .
在 上单调递减,在 上单调递增.
当 时, 取得最小值 .
当隔热层修建 5cm 厚时,总费用最小,最小值为 70 万元.
21. 解: 当 时, .
对于 恒成立, 在区间 上单调递增.
.
.
.
在 处的切线方程是
,即 ;
函数 的定义域为 .
当 时,恒有 ,
函数 在区间 上单调递减.
要满足在区间 上, 恒成立,则 即可,解得 .
实数 a 的取值范围是 .
当 时,令 ,解得 .
当 时,即 时,在区间 上有 ,此时 在此区间上单调递增,
不合题意,应舍去.
当 时,即 ,在区间 上有 ,此时 单调递增,不合题意.
综上 可知:实数 a 的取值范围是 .
22. 解: 由 ,求导 ,
当 时, ,
当 单调递减,
当 时, ,
令 ,解得: ,
当 ,解得: ,
当 ,解得: ,
时, 单调递减, 单调递增;
当 时, ,恒成立,
当 单调递减,
综上可知:当 时, 在 R 单调减函数,
当 时, 在 是减函数,在 是增函数;
若 时,由 可知: 最多有一个零点,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 ,且远远大于 和 x,
当 ,
函数有两个零点, 的最小值小于 0 即可,
由 在 是减函数,在 是增函数,
,
,即 ,
设 ,则 ,
求导 ,由 ,
,解得: ,
的取值范围 .
方法二: 由 ,求导 ,
当 时, ,
当 单调递减,
当 时, ,
令 ,解得: ,
当 ,解得: ,
当 ,解得: ,
时, 单调递减, 单调递增;
当 时, ,恒成立,
当 单调递减,
综上可知:当 时, 在 R 单调减函数,
当 时, 在 是减函数,在 是增函数;
若 时,由 可知: 最多有一个零点,
当 时,由 可知:当 时, 取得最小值, ,
当 ,时, ,故 只有一个零点,
当 时,由 ,即 ,
故 没有零点,
当 时, ,
由 ,
故 在 有一个零点,
假设存在正整数 ,满足 ,则 ,
由 ,
因此在 有一个零点.
的取值范围 .