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  • 2021-06-30 发布

辽宁省葫芦岛市兴城市第三高级中学2019-2020学年高一期中考试数学试卷

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www.ks5u.com 数学答案 本试卷共150分考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.已知集合 (   )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 平面向量满足,,且的夹角为,则= (   )‎ A.1 B. ‎3 ‎ C.5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎3.已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则数列的公比为(   )A.1 B.‎2 C. D.3‎ ‎4.的内角,,的对边分别为,,,若的面积为,则( )‎ A. B. C. D.‎ C【解析】根据题意及三角形的面积公式知,‎ 所以,所以在中,.故选C.‎ ‎5.若a>0,b>0,则不等式-b< D.x<-或x> 答案:D 按照解分式不等式的同解变形,‎ ‎⇒x<-或x>.‎ 法二:数形结合法,画出函数f(x)=的图象,函数f(x)=的图象夹在两条直线y=-b,y=a之间的部分的x的范围即为所求.‎ ‎6.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎7.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项之和为(  )‎ A. B. C. D. 选B ‎8.设,则不等式的解集为 ( )‎ A. B. C. D.(1,2)‎ ‎【答案】C ‎9.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于(  )‎ A. B.‎3 C.6 D.9‎ ‎【答案】C ‎10.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)等于(  )‎ A.10 B. C.-10 D.- 答案 B 解析 因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=-=f(x),所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数,所以f(107.5)=f(6×17+5.5)=-=-=-=.‎ ‎11.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-‎3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞)‎ C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)‎ 答案 A 解析 ∵|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4,‎ ‎∴a2-3a≥4恒成立.∴a∈(-∞,-1]∪[4,+∞).‎ ‎12. 设x、y满足约束条件,若目标函数(其中)的最大值为3,则的最小值为( )‎ A. . 3 B. . ‎1 ‎C. .2 D. . 4‎ ‎【答案】A【解析】解:如图所示,线性规划区域为三角形ABC,而目标函数的斜率为<0,‎ 因此目标函数的最大值即为过点B(1,2)取得。所以有a+2b=3, ‎ ‎(当且仅当a=b=1时,等号成立),故的最小值为3‎ ‎ 13.如果函数g(x)=是奇函数,那么f(x)=________.‎ 答案 2x+3‎ 解析 令x<0,所以-x>0,g(-x)=-2x-3.因为g(x)是奇函数,所以g(x)=-g(-x)=2x+3,所以f(x)=2x+3.‎ ‎14.函数y=2sin(-2x)(x∈[0,π])的增区间是-------------------‎ 解析 ∵y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数的增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,∴当k=0时,增区间为[,].‎ ‎15. 设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为________.‎ 答案  解析 向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a,b〉=,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2e12+6e1·e2=2+6×=5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos〈a,b〉=.‎ ‎16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于∀x∈R恒有f(x)=f(x-2),当x∈[0,1]时,f(x)=()1-x.有下列结论:‎ ‎①f(x)的周期是2; ②f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;‎ ‎③f(x)的最大值是1,最小值是0; ④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.‎ 其中正确序号是________.‎ 答案 ①②④‎ 解析 因为对于∀x∈R恒有f(x)=f(x-2),所以f(x+2)=f[(x+2)-2]=f(x),即2是f(x)的周期,①正确;因为x∈[0,1]时,f(x)=()1-x=2x-1为增函数,又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间[-1,0]上单调递减.又因为周期T=2,所以f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增,②正确;由②知,x∈[0,1]时,f(x)=()1-x=2x-1为增函数,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,且其周期为2,所以f(x)max=f(1)=21-1=20=1,f(x)min=f(0)=20-1=,故③错误;当x∈(3,4)时,x-4∈(-1,0),4-x∈(0,1),所以f(4-x)=()1-(4-x)=()x-3.又f(x)是周期为2的偶函数,所以f(4-x)=f(x),④正确.综上所述,正确的结论的序号是①②④.‎ ‎17.己知,,分别为三个内角,,的对边,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由正弦定理得,,‎ ‎∵,∴,即.‎ ‎∵∴,∴,∴.‎ ‎(2)由可得.∴,‎ ‎∵,∴由余弦定理得:,‎ ‎∴.‎ ‎18. 已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,‎ anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ 答案 (1)an=3n-1 (2)Sn=- 解析 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,‎ 通项公式为an=3n-1.‎ ‎(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.‎ ‎19. 设函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,可化为.‎ 由此可得 或.‎ 故不等式的解集为或.‎ ‎( Ⅱ) 由 得,‎ 此不等式化为不等式组 或,即或,‎ 因为,所以不等式组的解集为,由题设可得=,故.‎ ‎20.已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).‎ ‎(1)若∥,求x与y之间的关系式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.‎ 答案 (1)x+2y=0 (2)x=-6,y=3,S四边形ABCD=16‎ 解析 (1)∵=++=(x+4,y-2),‎ ‎∴=-=(-x-4,2-y).‎ 又∥且=(x,y),‎ ‎∴x(2-y)-y(-x-4)=0,‎ 即x+2y=0.①‎ ‎(2)由于=+=(x+6,y+1),‎ =+=(x-2,y-3),‎ 又⊥,‎ ‎∴·=0,‎ 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.②‎ 联立①②,化简得y2-2y-3=0.‎ 解得y=3或y=-1.‎ 故当y=3时,x=-6,‎ 此时=(0,4),=(-8,0),‎ 当y=-1时,x=2.‎ 此时=(8,0),=(0,-4).‎ ‎∴S四边形ABCD=||·||=16.‎ ‎21.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=.求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,‎ 当n=1时,a1=S1=11,(1分)‎ 所以an=6n+5.(2分)‎ 设数列{bn}的公差为d,‎ 由得 可解得b1=4,d=3.(4分)‎ 所以bn=3n+1.(5分)‎ ‎(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.(6分)‎ 又Tn=c1+c2+…+cn,‎ 所以Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],(7分)‎ ‎2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],(8分)‎ 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×[4+-(n+1)×2n+2]=-3n·2n+2,(10分)‎ 所以Tn=3n·2n+2.(12分)‎ ‎22.已知函数,其中是大于0的常数.‎ ‎(1)求函数的定义域;‎ ‎(2)若对任意恒有,试确定的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由,得,‎ 当时,恒成立,定义域为,‎ 当时,定义域为,‎ 当时,定义域为.‎ ‎(2)对任意,恒有.即对恒成立.‎ ‎∴.令,.‎ 由于在上是减函数,∴.‎ 故时,恒有.因此实数的取值范围为.‎

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