专题39+含参数不等式问题（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 25页

‎【学习目标】‎ 了解参变量的含义，会解含参变量的简单不等式，会探究含参变量的不等式在某范围内恒成立等简单问题，从而培养分类与整合的数学思想．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求解含参变量不等式时，往往需要分类讨论，而分类时讲究分类标准的一致性，并注意确保“不重不漏”.‎ ‎2.解决含参变量恒成立的不等式问题的步骤是：‎ ‎(1)分离变量：即将参变量与主变量分开，分别分布在不等式两侧.‎ ‎(2)求最值：要使h(a)≥f(x)恒成立，只需h(a)≥f(x)max；要使h(a)≤f(x)恒成立，只需h(a)≤f(x)min.‎ 同时应注意若不能分离变量，则将恒成立问题转化化归为函数问题，利用数形结合求解.‎ ‎【高考模拟】‎ 一、单选题 ‎1．已知全集，集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2．不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先将分式不等式等价转化为一元二次不等式，然后根据一元二次不等式解得情形求解集.‎ 详解：原不等式等价于，‎ ‎∵二次函数的开口向上，两个零点分别为，‎ ‎∴不等式的解集为，即原不等式的解集为，故选D.‎ 点睛：本题考查了分式不等式的解法，关键是正确转化为整式不等式，有时需注意分母根不能取，属于基础题.‎ ‎3．已知集合，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 点睛：该题考查的是有关求两集合的交集的运算，在求解的过程中，注意在求集合A的时候，注意分式不等式的解法-------向整式不等式转化，同时要注意分母不等于零的条件，要时刻铭记两集合的交集中元素的特征即可正确求解.‎ ‎4．关于x的不等式的解集（　　）‎ A． （﹣∞，﹣1） B． （﹣1，3） C． （3，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于（ ，解之即可．‎ ‎【详解】‎ 不等式等价于（，解得或 ‎ ， 故原不等式的解集为： 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的额解法，属于基础题．‎ ‎5．不等式＞0的解集是 A． （，） B． （4，）‎ C． （，－3）∪（4，+） D． （，－3）∪（，）‎ ‎【答案】D 点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0（本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为0.‎ ‎6．不等式的解集是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：解分式不等式先移项将一侧化为0，通分整理，转化为乘法不等式。‎ 详解：转化为乘法的等价形式，且，故，且 点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0（本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为0.‎ ‎7．不等式的解集是（　　）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到，之后根据不等式的性质可得，从而求得不等式的解集.‎ 详解：将原不等式化为，即，‎ 即，则有，解得，‎ 所以不等式的解集为，故选A.‎ 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.‎ ‎8．设： ， ： ，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎9．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．‎ 考点：函数模型的应用．‎ ‎10．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵偶函数在单调递减，且，‎ ‎∴函数在单调递增，且．‎ 结合图象可得不等式等价于或，‎ 即或，‎ 解得或．‎ 故的取值范围为．选A．‎ ‎11．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且,则不等式的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C 画出函数图象的草图（如图）。‎ 结合图象可得的解集是。选C。‎ 点睛：‎ 本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集。解题时要从函数的性质入手，同时也要把函数的性质转化为函数的性质，进一步得到函数的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集。其中在解题中不要忘了是定义在R上的函数，故应该有这一结论，即函数的图象中要有这一个点。‎ ‎12．已知是一元二次函数，不等式的解集是或，‎ 则的解集是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎13．已知函数的图像关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴函数为偶函数。‎ 又对任意有，‎ ‎∴函数在上为增函数。‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴的取值范围是.选A。‎ ‎14．设，，则集合满足（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，解得，所以；‎ 由，解得，所以．‎ 结合各选项得只有C正确．选C．‎ ‎15．若， ，则、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． 由的取值确定 ‎【答案】A ‎ ‎ ‎16．若存在x使不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以由，得 令，则原问题转化为 由，且当时，‎ 所以，即为减函数，最大值为 所以，，故选C．‎ 考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转换的思想求参数的取值范围.‎ 二、填空题 ‎17．不等式的解集为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集，得到结果.‎ 点睛：该题考查的是有关分式不等式的解法问题，在解题的过程中，注意将分式不等式转化为整式不等式，之后应用一元二次不等式的解法求得结果，涉及到的知识点就是分式不等式与整式不等式的等价转化.‎ ‎18．不等式的解集是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：移项可得，再转化成整式不等式即可.‎ 详解：移项可得，‎ ‎，解得或.‎ 故答案为：‎ 点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．‎ ‎19．不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】.‎ 点睛：本题主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，意在考查计算能力以及转化与划归思想的应用，属于简单题.‎ ‎20．若不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，根据分手不等式的解法解得或，若不等式成立的充分不必要条件是，则，故答案为.‎ ‎21．设函数．‎ ‎①若有两个零点，则实数的取值范围是 ___________;‎ ‎②若，则满足 的的取值范围是 _________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】①若a=0，则，‎ 由f（x）=0，可得x=0，x=﹣，符合题意；‎ 若a＜0，x=0符合题意；‎ 若x=﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；‎ 若a＞0，则x=0和x=﹣符合题意，可得a≤，‎ 综上可得，a的范围是（﹣，]；‎ ‎ ‎ ‎22．已知实数， 满足，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】将原式子展开得到 ‎ 实数， 满足 ，则 设 ‎ ‎，函数在 故在-1处取得最大值4.‎ 故答案为：4. ‎ 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的最值中的应用，首先了解三次的展开式，再就是反复利用题目中的条件两者之和为1。一般对于高次的函数求解最值和极值都是通过构造函数求导，研究导函数的正负，确定原函数的单调性，进而得到函数的最值。‎ ‎23．不等式的解集为____．‎ ‎【答案】‎ ‎24．若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围是___________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：易知方程有一根为0，当时，原方程化为，则该方程有3个不同实数解.作出函数的图像，因为方程有3个不同实数解，易知.由图可知时，方程只有1个实数解.所以.由图易知当时，方程总有一个根；当时，由得，令.所以时，在的范围内，方程有两个相等的实数根.由图可知，若要方程有3个不同实数解，则 ‎.即实数k的取值范围是.‎ 考点：方程的根与函数的零点、函数的图像 ‎25．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，设其导函数为 f ¢(x) ，当 x Î (- ¥,0]时，恒有xf ¢(x) + f (x) £ 0 ，令 F (x) = xf (x)，则满足 F(3) > F (2x -1) 的实数 x 的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．‎ 点睛：（1）本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．（2）对于公式 ‎，不仅要会顺用，还要会逆用.‎ ‎26．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：令，得，作出与的图象，要使函数 有个零点，则与的图象有个交点，所以.‎ 考点：函数的零点与方程的根的关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式及其函数的图象的应用，本题的解答中把方程函数有个零点，转化为函数与的图象有个交点是解得关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎27．定义在上的函数，对任意的都有且当时， ，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎28．不等式的解集非空，则k的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ 由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝，kBC＝.‎ 要使直线和半圆有公共点，则k≥或k≤.‎ 所以k的取值范围为(－∞，]∪[，＋∞)．‎ ‎29．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式 的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数在上单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ 即，‎ ‎∴,‎ ‎∴，解得。‎ 所以原不等式的解集为。‎ 答案： 。‎ ‎30．函数的定义域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎31．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为与均为非负数，所以原不等式可化为 ①，又且即的取值范围是。当时（当且仅当即时等号成立），则，所以；当或时，，，因为对于任意成立，所以．‎ 考点：1．转化思想；2．基本不等式；3．分类讨论思想；‎ 三、解答题 ‎32．解关于的不等式：‎ ‎（1）；（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】设，分析各个因式的符号，如下表：‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎+‎ 根据表格画图如下：‎ 根据以上图表，可知，‎ ‎（1）的解集为；‎ ‎（2）的解集为．‎ ‎33．解关于的不等式：‎ ‎（1）； （2）； （3）；‎ ‎（4）； （5）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；（5）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（3）∵，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（4）∵，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（5）∵，∴．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎34．求下列不等式的解集 ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)将不等式进行恒等变形，结合数轴穿根法可知原不等式解集为；‎ ‎(2) 将不等式进行恒等变形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集为.‎ ‎ ‎ ‎35．已知不等式的解集为或，‎ ‎(1)求， 的值；‎ ‎(2)解不等式.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2‎ ‎-3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；(2)将， 代入不等式得， ，‎ 可转化为： ，由“穿针引线”法可得结果.‎ ‎ ‎ ‎(2)将， 代入不等式得， ，‎ 可转化为： ，‎ 如图，由“穿针引线”法可得 原不等式的解集为或.‎ ‎36．求下列不等式的解集．‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ．‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎（3） 或 ‎【解析】试题分析：（1）解二次不等式；（2）利用标根法解高次不等式；（3）移项通分解高次分式不等式.‎ 试题解析：‎ 解：（1）由x2+4x+4＞0可化为（x+2）2＞0，（用判别式同样给分）‎ 故原不等式的解集为 ；‎ ‎（2）由（1﹣2x）（x﹣1）3（x+1）2＜0可化为（2x﹣1）（x﹣1）3（x+1）2＞0，‎ 且方程（1﹣2x）（x﹣1）3（x+1）2=0的根为、1（三重根）和﹣1（二重根），‎ 所以该不等式的解集为；‎ 点睛：高次不等式求解方法1.化二次项系数为正;2.求方程的根;3.画数轴进行穿根（从数轴右上方开始穿，奇重根穿偶不穿）;4.数轴上方大于0，数轴下方小于0.‎ 分式不等式解法1.先移项再通分化为（或<0）形式;2.化整式不等式（或<0）求解.‎ ‎37．设函数.‎ ‎（Ⅰ）若对一切实数，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）对于，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（2）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想, ‎ 试题解析：（1）①时，命题意②‎ 综上可知 ‎（2）恒成立，令 ‎①时，命题意②时，对称轴，当时，满足：‎ ‎ 当时，满足：‎ 综上可知：‎ 考点：恒成立问题.‎ ‎38．选修4-5：不等式选讲 函数的最小值为M；‎ ‎（Ⅰ）求实数M的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式,（其中）恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用绝对值三角不等式即可求得的最小值．‎ ‎（Ⅱ）由条件利用柯西不等式，求得的最大值，再根据此最大值小于或等于求得实数的取值范围．‎ 考点：绝对值三角不等式 ‎39．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）设函数，，若对任意的都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），‎ 由，则 或或，解得或；‎ 所以，所求的解集为 5分 ‎（2）作出的图象；‎ 直线过定点，若对任意的都成立，则.‎ 故所求实数的取值范围是 10分 ‎【解析】‎ ‎（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，由KPB=2，A（﹣4，7），可得 KPA=﹣1，数形结合求得实数k的取值范围．‎ 考点：不等式的解法及应用 点评：本题考查了绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想。‎ ‎40．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），证明：．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）证明：‎ 不妨设，则，，所以，即．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将不等式左边化简为，分段解不等式，然后取并集即可；‎ ‎（2）运用作差法证明，首先将左边减去右边后，提取公因式，并不妨假设，判断作差后式子与0的大小关系即可．‎ 试题解析：（1），所以或或即不等式解为，即为所求．‎ 考点：1、不等式的证明；2、绝对值不等式的解法．‎