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- 2021-06-30 发布
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2018-2019学年辽宁省辽阳市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A={x|13}，则A∩B的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|13}，
∴A∩B={4,5，6，7}．
∴A∩B的元素个数为4．
故选：B．
利用交集定义先求出A∩B，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. (2-i)2-(1+3i)=( )
A. 2-7i B. 2+i C. 4-7i D. 4+i
【答案】A
【解析】解：(2-i)2-(1+3i)=3-4i-(1+3i)=2-7i．
故选：A．
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3. 双曲线x2-y2=3的焦距为( )
A. 22 B. 4 C. 26 D. 12
【答案】C
【解析】解：根据题意，双曲线x2-y2=3的标准方程为x23-y23=1，
其中a=b=3，
则c=a2+b2=6，
其焦距2c=26；
故选：C．
根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，由焦距公式计算可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程．
4. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x,01，则f(-2)f(12)=( )
A. 4 B. 14 C. -4 D. -14
【答案】C
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x,01，
则f(2)=22=4，f(12)=2×(12)=1，
又由函数为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-4，
则f(-2)f(12)=-41=-4；
故选：C．
根据题意，由函数的解析式可得f(2)与f(12)的值，结合函数的奇偶性可得f(-2)的值，计算f(-2)f(12)的值即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及分段函数函数值的计算，属于基础题．
5. 设x，y满足约束条件y≥-3x+4y≥x-1，目标函数z=x+3y，则( )
A. z的最大值为3 B. z的最大值为2 C. z的最小值为3 D. z的最小值为2
【答案】D
【解析】解：由y≥-3x+4y≥x-1作出可行域如图，
联立y=-3x+4y=x-1，解得A(54,14)，
化目标函数z=x+3y为y=-x3+z3，由图可知，当直线y=-x3+z3过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为54+3×14=2．
故选：D．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6. 已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则( )
A. A=1，ω=3π
B. A=2，ω=π3
C. A=1，ω=π3
D. A=2，ω=3π
【答案】B
【解析】解：由图象可知，12A=1，T4=1.5，
∴A=2，T=6，
又6=T=2πω，
∴ω=13π，
故选：B．
结合图象可知，12A=1，T4=1.5，然后再由周期公式即可求解ω
本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．
7. 函数f(x)=4x-lnx的最小值为( )
A. 1+2ln2 B. 1-2ln2 C. 1+ln2 D. 1-ln2
【答案】A
【解析】解：f'(x)=4x-1x，
当014时，f'(x)>0．
故f(x)min=f(14)=1-ln14=1+2ln2，
故选：A．
求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(x)的最小值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
8. 若l，n是两条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若α//β，l⊂α，则l//β B. 若α⊥β，l⊥α，则l//β
C. 若l⊥n，n⊥β，则l//β D. 若l//α，α//β，则l//β
【答案】A
【解析】解：A，两个平面平行，其中一个平面内的直线平行另一个平面，故A正确．
故选：A．
A，依两面平行的性质可知正确；
B，C，D都缺少l⊂β的情况．
此题考查了线面平行，属容易题．
9. 已知a>0，且a≠1，函数f(x)=loga(6-ax)，则“10，且a≠1，∴函数g(x)=6-ax在(1,2)上单调递减．
又函数f(x)在(1,2)上单调递减，则a>1，且6-2a≥0，解得10，且a≠1，可得函数g(x)=6-ax在(1,2)上单调递减.又函数f(x)在(1,2)上单调递减，可得
a>1，且6-2a≥0，解得a范围即可判断出结论．
本题考查了复合函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAsinC=sin2B，a0且a+b>0 B. ab<0且a+b>0
C. ab>0且a+b<0 D. ab<0且a+b<0
【答案】B
【解析】解：∵13<0.4<1；
∴-11；
即-11；
∴ab<0，a+b>0．
故选：B．
容易得出-11，即得出-11，从而得出ab<0，a+b>0．
考查对数函数的单调性，以及增函数的定义．
12. 设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上，若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60∘，则球O的表面积为( )
A. 24π B. 28π C. 32π D. 40π
【答案】B
【解析】解：如图，
设该圆柱底面半径为r，高为h，则2πr2=8π，
hr=tan60∘=3，解得r=2，h=23，
则球O的半径R=r2+(h2)2=7，
故球O的表面积为4πR2=28π．
故选：B．
由题意画出图形，设该圆柱底面半径为r，高为h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由O1A与底面所成角为60∘求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案．
本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a，b的夹角为120∘，且|a|=1，|b|=4，则a⋅b=______．
【答案】-2
【解析】解：由向量的数量积公式得：
a⋅b=|a||b|cos120∘=1×4×(-12)=-2，
故答案为：-2
由向量的数量积公式：a⋅b=|a||b|cosθ运算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题．
14. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为______．
【答案】35
【解析】解：现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，
且这两对情侣选择的地方不同，
则基本事件总数n=C52=10，
这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数m=C42=6，
∴这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为p=mn=610=35．
故答案为：35．
先求出基本事件总数n=C52=10，再求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数m=C42=6，由此能求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15. 若α为锐角，则当tanα+4tanα取得最小值时，tan2α=______．
【答案】-43
【解析】解：∵α为锐角，
∴tanα>0，
则当tanα+4tanα≥2tanα⋅4tanα=4，
当且仅当tanα=4tanα即tanα=2时取得最小值4，
tan2α=2tanα1-tan2α=41-4=-43．
故答案为：-43．
由已知可得，tanα>0
，利用基本不等式可求tanα+4tanα的最小值及满足条件的tanα，然后由二倍角公式tan2α=2tanα1-tan2α可求．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试题．
16. 若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】[79,1)
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左、右焦点，
∴|PF1|+|PF2|=2a，
可得：|PF2|=2a9≥a-c，
解得ca≥79．
所以椭圆的离心率为：[79,1)．
故答案为：[79,1)．
利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，a14，Sm成等比数列，求S2m．
【答案】解：(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．
∴a2+a3=2a1+3d=8S9=9a5=9(a1+4d)=81，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+(n+1)×2=2n-1．
(2)由(1)知，Sn=n(1+2n-1)2=n2．
∵S3，a14
，Sn成等比数列，∴S3Sm=a142，
即9m2=272，解得m=9，
∴S2m=182=324．
【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．
(2)推导出Sn=n(1+2n-1)2=n2.由S3，a14，Sn成等比数列，得9m2=272，从而求出m=9，由此能求出S2m．
本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
18. 甲、乙两人2013-2017这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．
(1)根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；
(2)根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程，并据此估计乙在2018年年度体检的血压值．
(附：b∧=i=1n(xix)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a∧=y-b∧x)
【答案】解：(1)根据散点图知，甲的血压值波动更大些，
甲这五年年度体检的血压值的平均值为
x=15×(100+110+120+115+105)=110，
其方差为
s2=15×[(100-110)2+(110-110)2+(120-110)2+(115-110)2+(105-110)2]=50；
(2)计算x=2015，y=115，
回归系数为b∧=(-2)×(-5)+(-1)×5+1×(-5)+2×5(-2)2+(-1)2+12+22=1，
a∧=y-b∧x=115-2015=-1900；
y关于x的线性回归方程为y∧=x-1900；
当x=2018时，y∧=2018-1900=118；
∴估计乙在2018年年度体检的血压值为118．
【解析】(1)根据散点图知甲的血压值波动更大些，计算甲的平均值和方差；
(2)计算平均数和回归系数，写出回归方程，利用回归方程求出x=2018时y∧的值即可．
本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=AB=BC=2，AC=22．
(1)证明：△PBC为直角三角形；
(2)设A在平面PBC内的射影为D，求四面体ABCD的体积．
【答案】证明：(1)∵AB=BC=2，AC=22，∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
故△PBC为直角三角形．
解：(2)D为线段PB的中点，证明如下：
∵PA=AB，∴AD⊥PB．
又
∵BC⊥平面PAB，∴AD⊥BC．
∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．
取AB的中点H，则DH⊥平面ABC，
∵DH=12PA=1，△ABC的面积为2，
∴四面体ABCD的体积为V=13×1×2=23．
【解析】(1)推导出AB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥PB，由此能证明△PBC为直角三角形．
(2)D为线段PB的中点，取AB的中点H，则DH⊥平面ABC，由此能求出四面体ABCD的体积．
本题考查直角三角形的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20. 在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB．
(1)求C的方程；
(2)若D为直线y=x+4外一点，且△ABD的外心M在C上，求M的坐标．
【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=x+4x2=2py，可得x2-2px-8p=0，
则x1+x2=2p，x1x2=-8p，
从而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=-8p+8p+16=16，
∵OA⊥OB，
∴OA⊥OB=x1x2+y1y2=-8p+16=0，解得p=2，
故C的方程为x2=4y，
(2)设线段AB的中点N(x0,y0)，
由(1)可知x0=12(x1+x2)=2，y0=x0+4=6，
则线段AB的中垂线方程为y-6=-(x-2)，即y=-x+8，
联立y=-x+8x2=4y，解得y=16x=-8或y=4x=4，
M的坐标为(4,4)或(-8,16)．
【解析】(1)联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，
(2)先求出线段AB的中垂线方程为y=-x+8，再联立方程组，解得即可．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
21. 已知函数f(x)=(x-a)ex+3．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥f(0)，证明：f(x)≥23x2+2；
(3)若a=2，直线y=kx与曲线y=f(x)相切，证明：00，解得：x0，
则h(x)>0恒成立，
令g'(x)<0，得x<0，令g'(x)>0，得x>0，
则g(x)在(-∞,0)递减，在(0,+∞)递增，
则g(x)≥g(0)=0，
从而f(x)-(23x3+2)≥0，即f(x)≥23x3+2；
(3)证明：设切点为(x0,kx0)，
当a=2时，f'(x)=(x-1)ex，
则kx0=(x0-2)ex0+3k=(x0-1)ex0，
则x0(x0-1)ex0=(x0-2)ex0+3，
即(x02-2x0+2)ex0-3=0，
设函数h(x)=(x2-2x+2)ex-3，
h'(x)=x2ex≥0，则h(x)递增，
又h(1)=e-3<0，h(1.1)=1.01e1.1-3>0，
取x0∈(1.1,1)，
设p(x)=(x-1)ex，则p'(x)=xex，
若x∈(1.1,1)，则p'(x)>0，p(x)递增，
则k=p(x0)∈(0,0.1e1.1)，又0.1e1.1≈0.3004，
故00恒成立，根据函数的单调性证明即可；
(3)代入a的值，得到(x02-2x0+2)ex0-3=0，设函数h(x)=(x2-2x+2)ex-3，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=4t-1x=2t+1(t为参数)，曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)．
(1)求l和C的直角坐标方程；
(2)讨论l和C的位置关系．
【答案】解：(1)∵直线l的参数方程为y=4t-1x=2t+1(t为参数)，
∴直线l的直角坐标方程为2x-y-3=0．
∵曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)，
∴曲线C的直角坐标方程为(x-a)2+(y-2)2=1．
(2)曲线C是以(a,2)为圆心，1为半径的圆，
圆心C(a,2)到直线l的距离d=|2a-5|5，
当a=5±52时，d=|2a-5|5=1，l和C相切；
当5-525+52时，d=|2a-5|5>1，l和C相离．
【解析】(1)由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．
(2)曲线C是以(a,2)为圆心，1为半径的圆，圆心C(a,2)到直线l的距离d=|2a-5|5，由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系．
本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23. 设函数f(x)=|x-a|+|x-4|．
(1)当a=1时，求不等式f(x)<7的解集；
(2)若∃x0∈R，f(x0)<|a+3|，求a的取值范围．
【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=5-2x,x≤13,112，
故a的取值范围为(12,+∞)．
【解析】(1)求出a的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；
(2)求出f(x)的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
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