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- 2021-06-30 发布
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第6讲 离散型随机变量及其分布列
一、知识梳理
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．
(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及其性质
(1)概念：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1，2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1，2，…)，或把上式列成表：
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
称为离散型随机变量X的分布列，并记为X～.
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi＞0(i＝1，2，…)；
②p1＋p2＋…＝1．
3．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
常用结论
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、教材衍化
1．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
p
则p＝________．
解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
所以p＝1－＝.
答案：
2．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．设随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( )
(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
X
2
5
P
0.3
0.7
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
二、易错纠偏
(1)随机变量的概念不清；
(2)超几何分布类型掌握不准；
(3)分布列的性质不清致误．
1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．
解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
答案：
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．
解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.
答案：
离散型随机变量的分布列的性质(典例迁移)
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.
【迁移探究】 (变问法)在本例条件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P
2－3q
q2
则q的值为( )
A．1 B．±
C.－ D．＋
解析：选C.由分布列的性质知
解得q＝－.
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(300
空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重污染
我们把空气污染指数在0～100内的称为A类天，在101～200内的称为B类天，大于200的称为C类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：
(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；
(2)从这18天中任取3天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列．
解：(1)从这18天中任取3天，取法种数为C＝816，3天中至少有2个A
类天的取法种数为CC＋C＝46，所以这3天至少有2个A类天的概率为.
(2)X的所有可能取值是3，2，1，0.
当X＝3时，P(X＝3)＝＝，
当X＝2时，P(X＝2)＝＝，
当X＝1时，P(X＝1)＝＝＝，
当X＝0时，P(X＝0)＝＝＝.
所以X的分布列为
X
3
2
1
0
P
2.(2020·湖南邵阳联考)为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：
到班级宣传
整理、打包衣物
总计
20人
30人
50人
(1)如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．
解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是＝，
所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2(人)，
参与整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)，
故所求概率P＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
3．(2020·安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量/度
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
(1)计算表中编号10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列与数学期望．
解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3元，
编号为10的用户一年的用电量是4 600度，
所以该户该年应交电费
4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯的有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列是
X
0
1
2
3
4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
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