2018届二轮复习平面向量学案（全国通用） 28页

专题08 平面向量 高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．‎ 预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．‎ ‎1．向量的基本概念 ‎(1)既有大小又有方向的量叫做向量．‎ ‎(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.‎ ‎(3)长度等于1的向量叫单位向量．‎ ‎(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．‎ ‎(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．‎ ‎2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎3．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎4．两向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．‎ ‎5．向量的坐标表示及运算 ‎(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．‎ ‎6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，‎ 当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．‎ ‎7．平面向量的数量积 设θ为a与b的夹角．‎ ‎(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.‎ ‎(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．‎ ‎8．数量积的性质 ‎(1)a⊥b⇔a·b＝0；‎ ‎(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；‎ ‎(3)|a·b|≤|a|·|b|；‎ ‎(4)cosθ＝.‎ ‎9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)‎ ‎(1)a·b＝x1x2＋y1y2；‎ ‎(2)|a|＝；‎ ‎(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；‎ ‎(4)cosθ＝.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．‎ ‎2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．‎ ‎3．a在b方向上的投影为，而不是.‎ ‎4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.‎ 考点一　平面向量的概念及运算 例1． 【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎【变式探究】(2016·高考全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)‎ ‎∴故m＝－6.‎ 速解法：根据向量平行的坐标运算求解：‎ ‎∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b ‎∴m×(－2)－4×3＝0‎ ‎∴－‎2m－12＝0，∴m＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 答案：A ‎【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．‎ ‎(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：基本法一：设＝a，＝b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A.‎ 基本法二：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)‎ ‎＝·2＝.‎ 答案：A 考点二　平面向量数量积的计算与应用 例2．【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 【变式探究】(2016·高考全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．‎ ‎∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，‎ ‎∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.‎ ‎∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.‎ 速解法：如图，B为原点，则A ‎∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.‎ 答案：A ‎【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 答案：C ‎【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 解析：基本法：以、为基底表示和后直接计算数量积．‎ ＝＋，＝－，‎ ‎∴·＝·(－)‎ ‎＝||2－||2＝22－×22＝2.‎ 速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．‎ 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，‎ ‎∴＝(1,2)，＝(－2,2)，‎ ‎∴·＝1×(－2)＋2×2＝2.‎ 答案：2‎ 考点三 平面向量的综合应用 例3、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．‎2‎ C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 ‎【举一反三】【2017江苏，16】 已知向量 ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时， 取到最大值3；‎ 当，即时， 取到最小值.‎ ‎1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为 A．3 B．‎2‎ C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系 设 ‎ 根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是 ‎ ‎，若满足 即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。‎ ‎2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“‎ ‎”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎3.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，以为轴， 的垂直平分线为轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则， ， ，设，所以， ， ，所以， ，当时，所求的最小值为，故选B．‎ ‎4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 令，则，‎ 据此可得： ，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为， ， ，所以，故选C。‎ ‎9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ ‎ ‎ A ‎ C ‎ B O ‎(第12题) ‎ ‎【答案】3 ‎ ‎10.【2017江苏，16】 已知向量 ‎（1）若a∥b,求x的值；‎ ‎（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，‎ 从而.‎ 于是，当，即时， 取到最大值3；‎ 当，即时， 取到最小值.‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量，由得，解得，故选D.‎ ‎2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,‎ ‎===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又 ‎，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.‎ ‎4.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B． ‎15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，‎ ‎，即，所以，，因此 ‎，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．‎ ‎【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .‎ ‎【答案】9‎ ‎【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 ‎ 故选D.‎ ‎【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．‎ ‎【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）‎ ‎（A）20 （B）15 （C）9 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ 由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.‎ ‎【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B． ‎15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，‎ ‎，，‎ 当且仅当即时的最小值为.‎ ‎1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）‎ A. ‎ B . ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.‎ ‎【考点定位】平面向量的基本定理.‎ ‎2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量，则下列向量中与成的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算 ‎3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】参数方程、三角函数 ‎4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形中，已知，，则的值是 .‎ A D C B P ‎【答案】22‎ ‎【解析】由题意，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，解得．‎ ‎【考点定位】向量的线性运算与数量积．‎ ‎5. 【2014陕西高考理第13题】设，向量，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】共线定理；三角恒等变换.‎ ‎6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A. ‎ ‎【考点定位】平面向量的应用、线性规划.‎ ‎7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量、满足，，且（），则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，则，于是，因为，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎【考点定位】平面向量的模 ‎8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量，，若，则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，，‎ 因为，所以，解得.‎ ‎【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积 ‎10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】向量数量积及夹角 ‎11. 【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.‎ ‎【考点定位】命题的真假 ‎12. 【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为 ‎【考点定位】平面向量基本定理 ‎13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 ‎14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量 和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①有5个不同的值.‎ ‎②若则与无关.‎ ‎③若则与无关.‎ ‎④若，则.‎ ‎⑤若，则与的夹角为 ‎，∴，∴，故⑤错误.所以正确的编号为②④ ‎ ‎【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.‎ ‎15. 【2014四川高考理第7题】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 D.‎ ‎【解析】 由题意得：，选D.‎ 法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得 ‎【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. ‎ ‎16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设为平面向量，则（ ）‎ ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎【答案】Ｄ ‎【考点定位】向量运算的几何意义.‎ ‎17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（ ）‎ ‎ D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为所以 又因为，所以，，所以，，解得：‎ 故选C.‎ ‎【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.‎ ‎19. 【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则 （ ） ‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】把①代入②得故选B．‎ ‎【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．‎ ‎20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 ‎ 区域（含边界）上 ‎ （1）若，求；‎ ‎ （2）设，用表示，并求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），1.‎ ‎【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划. ‎ ‎21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）‎ ‎（A）1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，与上底面垂直，因此，‎ ‎．‎ ‎【考点定位】数量积的定义与几何意义．‎ ‎22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】向量的坐标运算．‎