数学（文）卷·2017届安徽省皖南八校高三第二次联考（12月）（2016 11页

安徽省“皖南八校”2017 届高三第二次联考（12 月） 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设  1 2z i i   ，则 z  （ ） A． 2 B．2 C． 10 2 D． 5 2 2.已知集合  2| 6 0A x x x    ， 1| 1B x x      ，则 A B  （ ） A． 1,3 B．   2,0 1,3  C． 2,0 D．   3,0 1,2  3.某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40 名同学进行检查，将学生从1 1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一 组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 4.已知双曲线   2 2 2 1 03 x y aa    的一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点重合，则 a 为（ ） A． 19 B．1 C.2 D．4 5.已知命题   2: 2, ,2 xp x x    ；命题 q ：函数   sin 2 3 cos2f x x x  的一条对称 轴是 7 12x  ，则下列命题中为真命题的是（ ） A． p q B． p q  C. p q  D． p q   6.函数 1 1 xy x   的图象大致为（ ） A． B． C. D． 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A．-1 B．0 C.7 D．1 8.过抛物线 2 4y x 的焦点且倾斜角为30 的直线交抛物线于 ,A B 两点，则 AB  （ ） A．4 B．8 C.16 D．32 9.在 ABC 中， , ,a b c 分别为 , ,A B C 的对边，已知 , ,a b c 成等比数列， 2 2a c ac bc   ， 6a  ，则 sin sin b c B C   （ ） A．12 B． 6 2 C. 4 3 D．6 10.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中 记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算 筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位 的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示， 十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 ，则 9117 用算筹可表示为（ ） A. B． C. D． 11.设 ,x y 满足约束条件 5 18 0, 2 0, 0, x y x y x y           ，则 2 6z x y   的最小值是（ ） A．9 B．6 C.15 D． 6 5 5 12.如图，四棱锥 P ABCD 中， PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为正方形且边长为 2， PAB ABCD平面 平面 ，四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表 面积是（ ） A． 28 21 27  B． 7 3  C. 28 D． 28 3  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知  1,2a  ，  ,4b k ，若 / /a b ，则 k  ． 14.若函数   23sin cos cosf x x x x m   在区间 0, 2      上的最大值是13 2 ，则 m 的值 是 ． 15.某几何体三视图如下，则该几何体体积是 ． 16.已知不等式 2 2x x ax a    恒成立，则 a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 n n b S  ，且 2 2 5 8a b  ， 5 35 2S  . （Ⅰ）求数列 na ， nb 的通项公式； （Ⅱ）求证： 1 2 3 2nb b b   … . 18.（本小题满分 12 分） 某学校为了分析在一次数学竞赛中甲、乙两个班的数学成绩，分别从甲、乙两个班中随机抽 取了 10 个学生的成绩，成绩的茎叶图如下： （Ⅰ）根据茎叶图，计算甲班被抽取学生成绩的平均值 x 及方差 2s ； （Ⅱ）若规定成绩不低于 90 分的等级为优秀，现从甲、乙两个班级所抽取成绩等级为优秀 的学生中，随机抽取 2 人，求这两个人恰好都来自甲班的概率. 19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 为菱形， 2AP AB PC   . （Ⅰ）求证： AC BP ； （Ⅱ）若 2BP  ， 6AC  ，求四棱锥 P ABCD 的体积. 20.（本小题满分 12 分） 如图，点  2,0A  ，  2,0B 分别为椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左右顶点， , ,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为 1 2,k k ，且 1 2 1, 4k k   ， / /AP OM ， / /BP ON . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求 ON OM    的最大值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数   2 2 1xf x e ax ax    . （Ⅰ）当 1a  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f  处的切线方程； （Ⅱ）当 0x  时，   0f x  恒成立，求 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中， 1C 的参数方程为 21 ,2 21 ,2 x t y t       （t 为参数），在以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 2C 的极坐标方程 2 2 cos 3 0     . （Ⅰ）说明 2C 是哪种曲线，并将 2C 的方程化为普通方程； （Ⅱ） 1C 与 2C 有两个公共点 ,A B ，顶点 P 的极坐标 2, 4      ，求线段 AB 的长及定点 P 到 ,A B 两点的距离之积. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数   1 2 4f x x x    . （Ⅰ）求  y f x 的最小值； （Ⅱ）求不等式   6 1f x   的解集. 试卷答案 一、选择题 1-5:CBCBB 6-10: AACCA 11、12： BD 二、填空题 13. 2 14. 5 15. 4 3 16. 3 ,3     三、解答题 17.（Ⅰ） 1 n n b S  ， 2 2 5 8a b  ， 5 35 2S  ， （Ⅱ）  1 2 2 2 2 2+ +1 3 2 4 3 5 2nb b b n n          … … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 31 3 2 4 3 5 1 1 2 2 1 2 2n n n n n n                    … . 18.解：（Ⅰ）  1 72 81 81 83 85 87 87 90 93 101 8610x            ，                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 72 86 81 86 81 86 83 86 85 86 87 86 87 86 90 86 93 86 101 8 610s                        1 196 25 25 9 1 1 1 16 49 225 54.810            . （Ⅱ）记甲班获优秀等次的三名学生分别为： 1 2 3, ,A A A ， 乙班获优秀等次的四名学生分别为： 1 2 3 4, , ,B B B B . 记随机抽取 2 人为事件 A ，这两人恰好都来自甲班为事件 B . 事件 A 所包含的基本事件有：              1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4 2 3, , , , , , , , , , , , , ,A A A A A B A B A B A B A A  2 1, ,A B                  2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 1 2 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A B A B A B A B A B A B B B B B    1 4 2 3, , , ,B B B B    2 4 3 4, , ,B B B B 共 21 个， 事件 B 所包含的基本事件有：     1 2 1 3 2 3, , , , ,A A A A A A 共 3 个， 所以   3 1 21 7P B   . 19.（Ⅰ）证明：设 BP 的中点为O ，连接 ,AO CO ， AO BP∴ ，OC BP ，又 AO CO O ， ,AO CO AOC 平面 ， BP AOC∴ 平面 ，又 AC AOC 平面 ， BP AC∴ . （Ⅱ）解： AOC 中， 3AO  ， 3CO  ， 6AC AO CO   . 又 AO BP ， BP CO O ， ,BP CO BPC 平面 ， AO BPC∴ 平面 ， 1 13A BPC BPCV S AO   ， 2 2P ABCD A BPCV V   . 20.解：（Ⅰ） 2 2 1 ,1 144 2, AP BP b k k ba a          椭圆 2 2: 14 xC y  . （Ⅱ） 1 2 1 4OM ONk k k k    ，设 1 4OM ONk k k k     ， :OMl y kx ， : 4ON xl y k   ， 2 2 4 4 1Mx k   ， 2 222 2 2 4 4 4 4 1 4 1M k ky OMk k      ， 2 2 2 16 4 1N kx k   ， 222 2 2 1 16 1 4 1 4 1N ky ONk k      ， （法一）： 2 2 2 2 2 2 4 4 16 1 9 52 1 14 1 4 1 216 8 k kON OM k k k k                  . （法二）： 22 22 2 2 2 2 2 4 4 16 1 3 33 44 1 4 1 4 1 4 1 k kON OM k k k k                        ， 令 2 3 4 1 tk  ， 0 3t  ， 2 3 4ON OM t t      当 3 2t  时最大，最大值为 5 2 . （法三）： 2 22 2 2 2 4 4 16 1 54 1 4 1 k kON OM k k         ， 2 2 5 2 2 ON OMON OM     . 21.解：（Ⅰ）当 1a  时，   2 2 1xf x e x x    ，   11f e   ，所以切点坐标为 11, e     ，   2 2xf x e x  ′ ，所以   11f e  ′ ， 故曲线  y f x 在点   1, 1f  处的切线方程为：   1 1 1y xe e     ，即： 1 2y xe e   . （Ⅱ）   2 2 1xf x e ax ax    求导得：   2 2xf x e ax a  ′ ， 令     2 2xg x f x e ax a   ′ ，    2 0xg x e a x  ′ ①当 2 1a  时，即 1 2a  时，   2 1 2 0xg x e a a    ′ ， 所以     2 2xg x f x e ax a   ′ 在 0, 上为增函数，    0 1 2 0g x g a    ， 即     0g x f x ′ ，所以   2 2 1xf x e ax ax    在 0, 上为增函数， 所以    0 1 0 0 1 0f x f      ，故即 1 2a  时符合题意. ②当 2 1a  ，即 1 2a  时，令   2 0xg x e a  ′ ，得 ln 2 0x a  ， 当  0,ln 2x a 时，    0 1 2 0g x g a    ，即   0f x ′ . 所以  f x 在 0,ln 2a 为减函数，所以    0 0f x f  ，与条件矛盾，故舍去. 综上， a 的范围是 1, 2     . 22.解：（Ⅰ） 2C 是圆， 2C 的极坐标方程 2 2 cos 3 0     ， 化为普通方程： 2 2 2 3 0x y x    即： 2 21 4x y   . （Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线 1C 上， 将 1C 的参数方程为 21 ,2 21 ,2 x t y t       （t 为参数）代入 2 2 2 3 0x y x    中得： 2 2 2 2 21 1 2 1 3 02 2 2t t t                            化简得： 2 2 3 0t t   .设两根分别为 1 2,t t ， 由韦达定理知： 1 2 1 2 2, 3, t t t t        所以 AB 的长  2 1 2 1 2 1 24 2 12 14AB t t t t t t        ， 定点 P 到 ,A B 两点的距离之积 1 2 3PA PB t t  . 23.解：（Ⅰ）   3 3, 2, 1 2 4 5, 2 1, 3 3, 1. x x f x x x x x x x                 所以：当 2x   时，  3,y   ；当 2 1x   时，  3,6y  ；当 1x  时，  6,y   . 综上，  y f x 的最小值是 3. （Ⅱ）   1 2 4f x x x    ， 令     3 9, 2, 6 1, 2 1, 3 3, 1, x x g x f x x x x x               ① 2, 3 9 1, x x       解得： 10 8,3 3x       ， ② 2 1, 1 1, x x       解得：  0,1x ， ③ 1, 3 3 1, x x     解得： 41, 3x     . 综上，不等式   6 1f x   的解集为：  10 8 4 10 8 4, 0,1 1, , 0,3 3 3 3 3 3                            .