【数学】2018届一轮复习人教A版第五章平面向量、复数第1讲平面向量的概念及线性运算学案 7页

第1讲　平面向量的概念及线性运算 最新考纲　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0‎ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 ‎0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：a＋b＝b＋a. ‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量 ‎－b的和的 运算叫做 a与b的差 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ 的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)零向量与任意向量平行.(　　)‎ ‎(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)‎ ‎(5)在△ABC中，D是BC中点，则＝(＋).(　　)‎ 解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.‎ ‎(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　　)‎ A.① B.③ C.①③ D.①②‎ 解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.‎ 答案　A ‎3.(2017·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)‎ A.2 B‎.3 ‎ C.－2 D.－3‎ 解析　由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，则λ＝－3，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.‎ 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数 μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成 立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.‎ 答案　 ‎5.(必修4P‎92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________(用a，b表示).‎ 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.‎ 答案　b－a　－a－b ‎6.(2017·嘉兴七校联考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.‎ 解析　如图所示，＝－＝－＝(－)＋＝－＋.又＝λ1＋λ2，且与不共线，所以λ1＝－，λ2＝.‎ 答案　－　 考点一　平面向量的概念 ‎【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号).‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c.‎ 解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.‎ ‎②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，‎ ∥且，方向相同，因此＝.‎ ‎③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ 答案　①‎ 规律方法　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.‎ ‎【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).‎ ‎①有向线段就是向量，向量就是有向线段；‎ ‎②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.‎ 解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；‎ ‎②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；‎ ‎③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.‎ 答案　③‎ 考点二　平面向量的线性运算 ‎【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.－a＋b C.a－b D.－a－b ‎(2)(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 解析　(1)＝＋＝＋＝＋‎ (－)＝＋＝a＋b，故选A.‎ ‎(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ 答案　(1)A　(2)　－ 规律方法　(1)解题的关键在于熟 练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.‎ ‎(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.‎ ‎【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ ‎(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A.1 B. C. D. 解析　(1)在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，‎ 所以＝.‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－，故选D.‎ ‎(2)∵＝＋＝＋，‎ ‎∴2＝＋，即＝＋.‎ 故λ＋μ＝＋＝.‎ 答案　(1)D　(2)D 考点三　共线向量定理及其应用 ‎【例3】 设两个非零向量a与b不共线.‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.‎ ‎(1)证明　∵＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b).‎ ‎∴＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝‎2a＋8b＋‎3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，又它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.‎ ‎(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是不共线的两个非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.‎ 规律方法　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ ‎(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ‎1a＋λ2b＝0成立.‎ ‎【训练3】 (1)已知向量＝a＋3b，＝‎5a＋3b，＝－‎3a＋3b，则(　　)‎ A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 ‎(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)‎ A.{0} B.∅ C.{－1} D.{0，－1}‎ 解析　(1)∵＝＋＝‎2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，‎ ‎∴、共线，又有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线.故选B.‎ ‎(2)因为＝－，所以x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，因为A，B，C三点共线，‎ 所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.‎ 答案　(1)B　(2)D ‎[思想方法]‎ ‎1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.‎ ‎2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.‎ ‎3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.‎ ‎2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. ‎