2018届二轮复习合情推理与演绎推理课件理（全国通用） 86页

第四节　 合情推理与演绎推理 【 知识梳理 】 1. 合情推理 类型 定义 特别 归纳 推理 由某类事物的 _____ 对象具 有某些特征 , 推出该类事物 的 _____ 对象都具有这些特 征的推理 由 _____ 到 _____ 、由 _____ 到 _____ 部分 全部 部分 整体 个别 一般 类型 定义 特别 类比 推理 由两类对象具有某些 _____ _____ 和其中一类对象的某 些已知 _____, 推出另一类对 象也具有这些 _____ 的推理 由 _____ 到 _____ 合情 推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 , 经 过观察、分析、比较、联想 , 再进行归纳、 _____, 然后提出 _____ 的推理 类似 特征 特征 特征 特殊 特殊 类比 猜想 2. 演绎推理 (1) 定义 : 从一般性的原理出发 , 推出某个特殊情况下的 结论 , 我们把这种推理称为演绎推理 . 简言之 , 演绎推理 是由一般到 _____ 的推理 . 特殊 (2)“ 三段论”是演绎推理的一般模式 , 包括 : ① 大前提 —— 已知的 _________; ② 小前提 —— 所研究的 _________; ③ 结论 —— 根据 _________, 对特殊情况作出的判断 . 一般原理 特殊情况 一般原理 【 特别提醒 】 合情推理与演绎推理的关系 (1) 合情推理的结论是猜想 , 不一定正确 ; 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时 , 得到的结论一定正确 . (2) 合情推理是发现结论的推理 ; 演绎推理是证明结论的推理 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 选修 2-2P77 练习 T1 改编 ) 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1, n≥2 时 ,a n =a n-1 +2n-1, 依次计算 a 2 ,a 3 ,a 4 后 , 猜想 a n 的表达式是　 ( 　　 ) A.a n =3n-1 B.a n =4n-3 C.a n =n 2 D.a n =3 n-1 【 解析 】 选 C.a 1 =1,a 2 =4,a 3 =9,a 4 =16, 猜想 a n =n 2 . 2.( 选修 2-2P77 练习 T3 改编 ) 在平面上 , 若两个正三角形的边长的比为 1∶2, 则它们的面积比为 1∶4. 类似地 , 在空间中 , 若两个正四面体的棱长的比为 1∶2, 则它们的体积比为 　　　　 . 【 解析 】 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出 : 在空间内 , 若两个正四面体的棱长的比为 1∶2, 则它们的底面积之比为 1∶4, 对应高之比为 1∶2, 所以体积比为 1∶8. 答案 : 1∶8 感悟考题　试一试 3.(2014· 全国卷 Ⅰ) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时 , 甲说 : 我去过的城市比乙多 , 但没去过 B 城市 ; 乙说 : 我没去过 C 城市 ; 丙说 : 我们三人去过同一城市 . 由此可判断乙去过的城市为 　　　　 . 【 解析 】 由丙可知 , 乙至少去过一个城市 , 由甲说可知甲去过 A,C, 且比乙多 , 故乙只去过一个城市 , 且没有去过 C 城市 , 故乙只去过 A 城市 . 答案 : A 4.(2016· 邵阳模拟 ) 在平面几何中 :△ABC 的∠ C 内角平 分线 CE 分 AB 所成线段的比为 把这个结论类比 到空间 : 在三棱锥 A-BCD 中 ( 如图 ),DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于点 E, 则得到类比的结论是 　　　　 . 【 解析 】 由平面中线段的比转化为空间中面积的 比可得 答案 : 考向一 　类比推理 【 典例 1】 (1)(2016· 蚌埠模拟 ) 已知双曲正弦函数 shx = 和双曲余弦函数 chx = 与我们学过的 正弦函数和余弦函数有许多类似的性质 , 请类比正、余 弦函数的和角或差角公式 , 写出双曲正弦函数或双曲余 弦函数的一个类似的正确结论 　　　　 . (2) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°, 设 a,b,c 分别表示三条边的长度 , 由勾股定理 , 得 c 2 =a 2 +b 2 . 类比平面内直角三角形的勾股定理 , 试给出空间中四面体性质的猜想 . 【 解题导引 】 (1) 将双曲正弦函数 shx = 和双曲 余弦函数 chx = , 右端相乘 , 化简整理 , 再对比正 弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论 . (2) 考虑到直角三角形的两条边互相垂直 , 我们可以选 取有 3 个面两两垂直的四面体 , 作为直角三角形的类比 对象 . 【 规范解答 】 (1)chxchy-shxshy = (e x+y +e x-y +e -x+y +e -x-y -e x+y +e x-y +e -x+y -e -x-y ) = [2e x-y +2e -(x-y) ]= =ch(x-y). 答案 : ch(x-y)=chxchy-shxshy (2) 如题图所示 , 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°. 设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度 , 由勾股 定理 , 得 c 2 =a 2 +b 2 . 类似地 , 在四面体 P-DEF 中 ,∠PDF=∠PDE =∠EDF=90°. 设 S 1 ,S 2 ,S 3 和 S 分别表示△ PDF,△PDE, △ EDF 和△ PEF 的面积 , 相应于直角三角形的 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c, 图中的四面体有 3 个“直角面” S 1 ,S 2 , S 3 和 1 个“斜面” S. 于是 , 类比勾股定理的结构 , 我们猜想 S 2 =S 1 2 +S 2 2 +S 3 2 成立 . 【 母题变式 】 1. 把本例 (2) 条件“由勾股定理 , 得 c 2 =a 2 +b 2 ” 换成“ cos 2 A+cos 2 B=1”, 则在空间中 , 给出四面体性质的猜想 . 【 解析 】 如图 , 在 Rt△ABC 中 , cos 2 A+cos 2 B= 于是把结论类比到四面体 P-A′B′C′ 中 , 我们猜想 , 三棱锥 P-A′B′C′ 中 , 若三个侧面 PA′B′,PB′C′, PC′A′ 两两互相垂直 , 且分别与底面所成的角为 α,β,γ , 则 cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1. 2. 本例 (2) 条件改为“如图 , 作 CD⊥AB 于点 D, 则有 ” . 类比该性质 , 试给出空间中四面体性质的猜想 . 【 解析 】 类比猜想 : 四面体 ABCD 中 ,AB,AC,AD 两两垂直 ,AE⊥ 平面 BCD, 则 如图 , 连接 BE 交 CD 于点 F, 连接 AF, 因为 AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 所以 AB⊥ 平面 ACD, 而 AF⊂ 平面 ACD, 所以 AB⊥AF. 在 Rt△AEF 中 ,AE⊥BF, 所以 易知在 Rt△ACD 中 ,AF⊥CD, 所以 猜想正确 . 【 规律方法 】 1. 类比推理的几个角度 类比推理是由特殊到特殊的推理 , 可以从以下几个方面考虑类比 : ①类比定义 ; ② 类比性质 ; ③ 类比方法 ; ④ 类比结构 . 2. 类比推理的一般步骤 (1) 找出两类事物之间的相似性或一致性 . (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 , 得出一个明确的命题 ( 猜想 ). 【 变式训练 】 (2016· 湖北八校联考 ) 已知△ ABC 的顶点 A,B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 =1 的焦点 . 顶点 C 在该曲线上 ; 一同学已正确地推得 : 当 m>n>0 时有 e(sinA+sinB)=sinC . 类似地 , 当 m>0,n<0 时 , 有 　　 . 【 解题提示 】 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三 角形推导结论 . 【 解析 】 当 m>n>0 时 , 为椭圆 , |AC|+|BC|= ⇒e(sinA+sinB)=sinC . 当 m>0,n<0 时 , 为双曲线 , ||AC|-|BC||= e|sinA-sinB|=sinC . 答案 : e|sinA-sinB|=sinC 【 加固训练 】 1. 如图所示 , 椭圆中心在坐标原点 ,F 为左焦点 , 当 时 , 其离心率为 , 此类椭圆被称为 “黄金椭圆” . 类比“黄金椭圆” , 可 推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于 ( 　　 ) 【 解题提示 】 根据“黄金椭圆”的性质是 , 可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质 . 【 解析 】 选 A. 设“黄金双曲线”方程为 则 B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中 , 所以 b 2 =ac. 而 b 2 =c 2 -a 2 , 所以 c 2 -a 2 =ac. 在等号两边同除以 a 2 , 得 e= 2. 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形 , 则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径 , 以此可 求得外接圆半径 r= ( 其中 a,b 为直角三角形两直 角边长 ). 类比此方法可得三条侧棱长分别为 a,b,c 且两 两垂直的三棱锥的外接球半径 R= 　　　　 . 【 解析 】 由平面类比到空间 , 把矩形类比为长方体 , 从而得出外接球半径为 . 答案 : 考向二 　归纳推理 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 与数列 ( 数字 ) 有关的推理 主要是给出一些数字的排列或给出一组数的排列 , 归纳猜想出规律 与不等式有关的推理 主要是给出隐含一定规律的一组不等式 , 求出规定的一个不等式 与图形有关的推理 主要是结合一些图形 , 根据图形的特点寻找规律 【 考题例析 】 命题方向 1: 与数列 ( 数字 ) 有关的推理 【 典例 2】 (1)(2016· 新乡模拟 ) 从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列 , 现有一个三角形框架在图中上下或左右移动 , 使每次恰有九个数在此三角形内 , 则这九个数的和可以为　 ( 　　 ) A.2 011 　　　　 B.2 012 　 C.2 013 　　　　 D.2 014 (2)(2013· 湖北高考 ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 研究过各种多边形数 , 如三角形数 1,3,6,10,…, 第 n 个 三角形数为 记第 n 个 k 边形数为 N(n , k)(k≥3), 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 : 三角形数　 N(n,3)= n 2 + n, 正方形数 N(n,4)=n 2 , 五边形数 N(n,5)= n 2 - n, 六边形数 N(n,6)=2n 2 -n, …… 可以推测 N(n,k ) 的表达式 , 由此计算 N(10,24)= 　　 . 【 解题导引 】 (1) 设最上层的一个数为 a, 则第二层的三个数为 a+7,a+8,a+9, 第三层的五个数为 a+14,a+15, a+16,a+17,a+18, 根据题意求和验证 . (2) 通过观察 , 得出 N(n,k ) 的通项公式 :N(n,k )=a k n 2 + b k n(k≥3), 然后分别得出 {a k } 与 {b k } 的通项公式 , 便可代入求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 根据题干图所示的规则排列 , 设最上层的一个数为 a, 则第二层的三个数为 a+7,a+8,a+9, 第三层的五个数为 a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这 9 个数之和为 a+3a+24+5a+80=9a+104. 由 9a+104=2012, 得 a=212, 是自然数 . (2) 三角形数　 N(n,3)= 正方形数 N(n,4)=n 2 = 五边形数 N(n,5)= 六边形数 N(n,6)=2n 2 -n= k 边形数 N(n,k )= 所以 N(10,24)= =1000. 答案 : 1000 命题方向 2: 与不等式有关的推理 【 典例 3】 (2016· 宝鸡模拟 ) 观察下列不等式 照此规律 , 第五个不等式为 　　　　　 . 【 解题导引 】 观察不等式两边式子的特点 , 总结指数、项数、分子、分母之间的数量关系 . 【 规范解答 】 左边的式子的通项是 右边式子的分母依次增加 1, 分子依次增加 2, 还可以发 现右边分母与左边最后一项分母的关系 , 所以第五个不 等式为 答案 : 命题方向 3: 与图形有关的推理 【 典例 4】 (2016· 成都模拟 ) 某种平面分形图如图所示 , 一级分形图是由一点出发的三条线段 , 长度均为 1, 两两 夹角为 120°; 二级分形图是在一级分形图的每条线段 的末端出发再生成两条长度为原来 的线段 , 且这两条 线段与原线段两两夹角为 120°,…, 依此规律得到 n 级 分形图 . (1)n 级分形图中共有 　　　　 条线段 . (2)n 级分形图中所有线段长度之和为 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 根据图形找出线段的生发规律 . (2) 由分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为 原来 的线段 , 可得 n 级分形图中第 n 级的所有线段的长 度为 b n =3× (n∈N * ). 【 规范解答 】 (1) 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段 , 由题图知 , 一级分形图有 3=(3×2-3) 条线段 , 二级分形图有 9=(3×2 2 -3) 条线段 , 三级分形图中有 21=(3×2 3 -3) 条线段 , 按此规律 n 级分形图中的线段条数 a n =3×2 n -3(n∈N * ). (2) 分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原 来 的线段 , 所以 n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度 为 b n =3× (n∈N * ), 所以 n 级分形图中所有线段长度 之和为 S n = 答案 : (1)3×2 n -3(n∈N * ) 　 (2)9-9× 【 技法感悟 】 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1) 与“数字”相关问题 : 主要是观察数字特点 , 找出等式左右两侧的规律 . (2) 与不等式有关的推理 : 观察所给几个不等式两边式子的特点 , 注意纵向看、找出隐含规律 . (3) 与图形有关推理 : 合理利用特殊图形归纳推理得出结论 . 【 题组通关 】 1.(2016· 广元模拟 ) 观察 (x 2 )′=2x,(x 4 )′=4x 3 , (cosx)′=-sinx , 由归纳推理可得 : 若定义在 R 上的函数 f(x ) 满足 f(-x)=f(x ), 记 g(x ) 为 f(x ) 的导函数 , 则 g(-x )= 　 ( 　　 ) A.f(x ) 　　 B.-f(x ) 　　 C.g(x ) 　　 D.-g(x ) 【 解析 】 选 D. 由所给函数及其导数知 , 偶函数的导函数为奇函数 , 因此当 f(x ) 是偶函数时 , 其导函数应为奇函数 , 故 g(-x)=-g(x ). 2.(2016· 潮州模拟 ) 如图是按一定规律排列的三角形等式表 , 现将等式从左至右 , 从上到下依次编上序号 , 即第一个等式为 2 0 +2 1 =3, 第二个等式为 2 0 +2 2 =5, 第三个等式为 2 1 +2 2 =6, 第四个等式为 2 0 +2 3 =9, 第五个等式为 2 1 +2 3 =10…… 以此类推 , 则第 99 个等式为　 ( 　　 ) 2 0 +2 1 =3 2 0 +2 2 =5 　 2 1 +2 2 =6 2 0 +2 3 =9 　 2 1 +2 3 =10 　 2 2 +2 3 =12 2 0 +2 4 =17 　 2 1 +2 4 =18 　 2 2 +2 4 =20 　 2 3 +2 4 =24 … A.2 7 +2 13 =8320 B.2 7 +2 14 =16512 C.2 8 +2 14 =16640 D.2 8 +2 13 =8448 【 解析 】 选 B. 依题意 , 用 (t,s ) 表示 2 t +2 s , 题中的等式的规律为 : 第一行为 3(0,1); 第二行为 5(0,2),6(1,2); 第三行为 9(0,3),10(1,3),12(2,3); 第四行为 17(0, 4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……, 又因为 99=(1+2+ 3+…+13)+8, 因此第 99 个等式应位于第 14 行的从左到右的第 8 个位置 , 即是 2 7 +2 14 =16512. 3.(2013· 陕西高考 ) 观察下列等式 : 1 2 =1, 1 2 -2 2 =-3, 1 2 -2 2 +3 2 =6, 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 =-10, … 照此规律 , 第 n 个等式可为 　　　　 . 【 解析 】 1 2 =1, 1 2 -2 2 =-(1+2), 1 2 -2 2 +3 2 =1+2+3, 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 =-(1+2+3+4), … 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 +…+(-1) n+1 n 2 =(-1) n+1 (1+2+…+n)=(-1) n+1 . 答案 : 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 +…+(-1) n+1 n 2 =(-1) n+1 【 加固训练 】 (2016· 达州模拟 ) 有一个奇数组成的数阵排列如下 :1 　 3 　 7 　 13 　 21 　 …5 　 9 　 15 　 23 　 … 　 …11 　 17 　 25 　 … 　 … 　 … 19 　 27 　 … 　 … 　 … 　 …29 　 … 　 … 　 … 　 … 　 …… 　 … 　 … 　 … 　 … 　 … 则第 30 行从左到右第 3 个数是 　　　　 . 【 解析 】 观察每一行的第一个数 , 由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 1+4+6+8+10+…+60= -1=929. 又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n, 第 3 个数比 第 2 个数大 2n+2, 所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60, 第 3 个数比第 2 个数大 62, 故第 30 行从左到右 第 3 个数是 929+60+62=1051. 答案 : 1051 考向三 　演绎推理 【 典例 5】 (2016· 保定模拟 ) 数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , 已知 a 1 =1,a n+1 = S n (n∈N * ), 证明 : (1) 数列 是等比数列 . (2)S n+1 =4a n . 【 解题导引 】 (1) 利用 a n+1 =S n+1 -S n 消去 a n+1 . (2) 根据 是等比数列得到 S n+1 与 S n-1 的关系 , 再利用 a n = S n-1 证明 . 【 规范解答 】 (1) 因为 a n+1 =S n+1 -S n ,a n+1 = S n , 所以 (n+2)S n =n(S n+1 -S n ), 即 nS n+1 =2(n+1)S n . 所以 ( 小前提 ) 故 是以 1 为首项 ,2 为公比的等比数列 .( 结论 ) ( 大前提是等比数列的定义 , 这里省略了 ) (2) 由 (1) 可知 所以 S n+1 =4(n+1)· =4a n (n≥2)( 小前提 ) 又 a 2 =3S 1 =3,S 2 =a 1 +a 2 =1+3=4=4a 1 ,( 小前提 ) 所以对于任意正整数 n, 都有 S n+1 =4a n .( 结论 ) 【 误区警示 】 解答本题会出现以下错误 : 不知利用 a n+1 =S n+1 -S n 消去 a n+1 , 从而导致解题无思路 . 【 规律方法 】 三段论的依据及应用时的注意点 (1) 三段论推理的依据是 : 如果集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集 , 那么 S 中所有元素都具有性质 P. (2) 应用三段论的注意点 : 解决问题时 , 首先应该明确什么是大前提 , 小前提 , 然后再找结论 . 【 变式训练 】 已知函数 f(x )=- (a>0, 且 a≠1). (1) 证明 : 函数 y=f(x ) 的图象关于点 对称 . (2) 求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 的值 . 【 解析 】 (1) 函数 f(x ) 的定义域为全体实数 , 任取一点 (x,y ), 它关于点 对称的点的坐标为 (1-x,-1-y). 所以 -1-y=f(1-x) ，即函数 y=f(x ) 的图象关于点 对称． (2) 由 (1) 知 -1-f(x)=f(1-x), 即 f(x)+f(1-x)=-1. 所以 f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 【 加固训练 】 1.“ 因为对数函数 y=log a x 是增函数 ( 大前提 ), 而 y= 是对数函数 ( 小前提 ), 所以 y= 是增函数 ( 结论 )”, 以上推理错误的原因是　 ( 　　 ) A. 大前提错误导致结论错误 B. 小前提错误导致结论错误 C. 推理形式错误导致结论错误 D. 大前提和小前提错误导致结论错误 【 解析 】 选 A. 当 a>1 时 , 函数 y=log a x 是增函数 ; 当 0af(b)+bf(a ), 试证明 :f(x ) 为 R 上的单调增函数 . 【 证明 】 设 x 1 ,x 2 ∈R, 取 x 1 x 1 f(x 2 )+x 2 f(x 1 ), 所以 x 1 [f(x 1 )-f(x 2 )]+x 2 [f(x 2 )-f(x 1 )]>0,[f(x 2 )-f(x 1 )](x 2 -x 1 )>0, 因为 x 1 0,f(x 2 )>f(x 1 ). 所以 y=f(x ) 为 R 上的单调增函数 .