2017-2018学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等四校高二下学期第二次联考试题（5月） 数学（理） Word版 10页

‎“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 ‎2017—2018学年第二学期第二次月考 高二理科数学 考试时间120分钟。满分150分。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知是虚数单位，则所对应的点位于复平面内的 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知P是曲线上一点，则点P到直线距离的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列四个散点图中，相关系数最大的是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．已知随机变量～，且，则 ‎ A．0.15 B．0.35 C．0.85 D．0.3‎ ‎5．两个实习生每人加工一种零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知, ，，若该班某学生的脚长为25，‎ 据此估计其身高为 ‎ A. 160 B. 165 C. 170 D. 175‎ ‎7．已知X的分布列如图：则的数学期望E(Y)等于 X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“红色骰子点数为3”，事件B为“蓝色骰子出现的点数是奇数”，‎ ‎ 则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若的展开式中的系数为80，则的展开式中各项系数的绝对值之和为 ‎ A．32 B．81 C．243 D．256‎ ‎11．5名教师分配到3个学校支教，每个学校至少分配1名教师，甲、乙两个老师不能分配到同一个学校， ‎ ‎ 则不同的分配方案有 ‎ A．60 种 B．72种 C．96 种 D．114种 ‎12．若对恒有，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． ．‎ ‎14．的展开式中常数项为 ．‎ ‎15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为______．‎ ‎16.已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____． ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）‎ 某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天的销售量，统计结果如下：‎ 日销售量 ‎100‎ ‎150‎ 天数 ‎30‎ ‎20‎ 频率 若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中：‎ ‎(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；‎ ‎(2)已知每件该商品的利润为20元，用X表示该商品某两天销售的利润和(单位：元)，求X的分布列和数学期望．‎ ‎18．（12分）‎ 已知函数在处取得极值．‎ ‎(1)求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎(2) 求函数的单调区间．‎ ‎19．（12分）‎ 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．‎ ‎(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；‎ ‎(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？‎ ‎20．（12分）‎ 某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.‎ 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎4‎ ‎36‎ ‎96‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎4‎ ‎ （1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；‎ ‎（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利元，一件不合格品亏损 元，用频率估计概率，则生产件产品企业大约能获利多少元？‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 附：‎ ‎21．（12分）‎ 已知．‎ ‎(1)若函数在R上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若，证明：当时，．‎ 参考数据：，．‎ ‎22．[选修：坐标系与参数方程] (10分) ‎ 在极坐标系中，曲线：，曲线： .以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求，的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值．‎ ‎“平和、华安、长泰、南靖一中”四校联考 ‎2017-2018学年第二学期第二次月考 高二理文科数学参考答案 评分说明：‎ ‎1．本解答给只出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎3．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。‎ ‎1．B ２．B ３．C ４．C ５．B ６．D ‎７．A ８．C ９．A １0．C １1．D １2．A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。‎ ‎1３． 1４． 1５． 1６．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．本小题满分12分．‎ 解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率 ‎． 5分 ‎(2) X的可能取值为4000,5000,6000．‎ ‎，，‎ ‎． 8分 所以X的分布列为 X ‎4000‎ ‎5000‎ ‎6000‎ P 数学期望（元）． 12分 ‎18．本小题满分12分．‎ 解：(1)因为，所以． 1分 因为在 处取得极值，所以，即，‎ 解得所以． 3分 因为，，，‎ 所以函数在点处的切线方程为． 6分 ‎(2)由(1) ，‎ 令，即，解得，‎ 所以的单调递增区间为． 9分 令，即，解得或，‎ 所以的单调递减区间为，．‎ 综上，的单调递减区间为和，单调递增区间为． 12分 ‎19．本小题满分12分．‎ 解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P，‎ 则． 4分 ‎(2)设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．‎ ‎， ， ． 6分 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的分布列为：‎ 所以，‎ ‎． 8分 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．‎ 则．‎ 所以，． 10分 因为，，‎ 即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，‎ 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 12分 ‎20．本小题满分12分．‎ 解：（1）根据图1和表1得到列联表：‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 ‎172‎ ‎192‎ ‎364‎ 不合格品 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎ 3分 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ ‎. 5分 因为， ‎ 所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. 6分 ‎（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为 ‎；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. 9分 ‎ ‎（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，‎ ‎ ，所以该企业大约获利168800元． 12分 ‎21．本小题满分12分．‎ 解：（1）依题意． 1分 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 因此． 2分 令，则，‎ 令，解得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，取得最小值，‎ 故，即的取值范围为． 4分 ‎(2)证明：若，则，得，‎ 由(1)知在上单调递减，在上单调递增． 5分 又，，‎ ‎．‎ 所以存在，使得． 7分 所以当时，，当时，，‎ 则函数在单调递减，在单调递增．‎ 则当时，函数在上有最小值． 8分 由得，‎ 所以===． 10分 由于，‎ 所以．‎ 所以当时，． 12分 ‎22．本小题满分10分．‎ 解：（Ⅰ）因为， 1分 由得， 2分 所以曲线的直角坐标方程为． 3分 由得， 4分 所以曲线的直角坐标方程为: ． 5分 ‎（Ⅱ）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为．‎ 把 代入，‎ 得，即, 6分 则，． 7分 把 代入，‎ 得，即, 8分 则，． 9分 所以． 10分 ‎ ‎