天津市蓟州区2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 13页

蓟州区2018~2019学年度第二学期期中形成性练习 高二数学 一､选择题：本大题共8道小题，每小题4分，共32分 ‎1.名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先求每一个同学报名的方法数，再求4个同学不同的报名总数.‎ 详解：每个同学报各都有种情况，共有个同学，则有种报名方法．‎ 点睛：(1)本题主要考查乘法分步原理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)本题容易错选D，错在没有分清事件的主体，由于每一个学生都要找到对象，所以学生是事件的主体，而每一个人有3种报名方法，所以根据乘法分步原理共有种报名方法.‎ ‎2.8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎8人站成两排需要分步完成，第一步，5个位置8个人选，求出情况数；第二步，3个位置3个人选，全排，两者相乘即可.‎ ‎【详解】由题意有，前排5人，相当于有5个位置，后排3人相当于有3个位置，‎ ‎∴前排5个位置8个人的排列数有种，‎ ‎∴剩下3人3个位置的排列数有种，‎ 又∵上述是分步处理“8名学生站成两排”，‎ ‎∴不同站法种数为： ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查学生对分步计数原理的运用情况，以及排列数的相关计算，会处理基本的排列组合问题，为容易题 ‎3.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. （） D. （）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则，因为曲线在点处切线斜率为，所以，可得，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题可利用方法(2)求得点的坐标.‎ ‎4.函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，令导数小于0 ,得的取值区间，即为的单调减区间.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以,‎ 令 得,‎ 可得，‎ 函数的单调递减区间为,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是基础题.利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出；（2）在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎5.已知向量且与互相垂直，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先表示出与的坐标，再根据与互相垂直，得到计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，‎ ‎，‎ 又因为与互相垂直，所以，‎ ‎，解得 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.‎ ‎6.假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品抽法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， ‎ ‎“有2件次品”的抽取方法有C‎32C1973种， “有3件次品”的抽取方法有C‎33C1972种， 则共有C‎32C1973+C‎33C1972种不同的抽取方法， 故选B．‎ ‎7.在的二项展开式中,x的系数为(　　)‎ A. 10 B. ‎-10 ‎C. 40 D. -40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数.‎ 详解：∵ ,‎ ‎∴当时,.‎ ‎∴,故选D.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎8.在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.‎ ‎【详解】记事件为第二次抽到一等品，事件为第一次抽到一等品，‎ 则由条件概率公式可知：‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件发生条件下事件发生的概率公式为：.‎ 二､填空题：本大题共5道小题，每小题4分，共20分 ‎9.已知集合，恰含有一个奇数的子集个数为_____.‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当集合中只有一个奇数元素时，用列举法即可求出将另两个偶数元素放入其中的子集个数为4个，故集合中恰含有一个奇数的子集个数为12.‎ ‎【详解】∵集合有3个奇数，2个偶数 ‎∴子集中选取一个奇数，偶数可以有：0个，1个（两种），2个共4种情况 ‎∴子集个数为：12个.‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】本题考查了集合中子集个数问题，考验了学生用分类讨论的思想处理相关问题，为基础题.‎ 小记，一个集合中有个元素，则其子集个数.‎ ‎10.函数的导数为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数换成以为底的对数函数，再对函数进行求导，即得答案.‎ ‎【详解】由换底公式可知，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】单纯的对数求导问题，考查了学生对对数求导公式的记忆情况，为基础题.小记，.‎ ‎11.已知点，，，若，，三点共线，则_____.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出，，由，，三点共线得出，则其向量对应坐标之比相等，从而求得的值.‎ ‎【详解】由题意有，‎ ‎，‎ ‎∵，，三点共线，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查了学生运用平面上三点共线，从而得出相关向量坐标比相等的关系，考查了学生对平面向量知识的掌握情况，为容易题.‎ ‎12.一名射手击中靶心的概率，如果他在同样条件下连续射击5次，则他击中靶心的次数的均值为_____.‎ ‎【答案】4.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由次独立重复实验的性质，即可求得结果.‎ ‎【详解】∵射手5次射击为5次独立重复实验，‎ ‎∴他击中靶心的次数均值为：.‎ 故答案为：4.5‎ ‎【点睛】考查独立重复实验的均值问题，需要学生记住相关公式即可处理类似问题，为容易题.小记，某个事件发生的概率为，将该事件重复次，则事件发生的均值（数学期望）为：，事件发生的方差为：.‎ ‎13.的展开式的常数项是 （用数字作答）‎ ‎【答案】-20‎ ‎【解析】‎ 由题知的通项为，令得，故常数项为．‎ 三､解答题：本大题共48分 ‎14.在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，表示摸出红球的个数.‎ ‎（1）求的分布列；(用数字作答)‎ ‎（2）至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率.(用数字作答)‎ ‎【答案】（1）分布列答案见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知可取的值为：0，1，2，3，由组合数公式分别求出其对应的概率，列出分布列即可；‎ ‎（2）至少摸到2个红球，则可以摸到2个红球或者摸到3个红球，根据（1）中分布列读出，相加即可.‎ ‎【详解】（1）的取值为0，1，2，3，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）中奖的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查学生求简单随机事件的分布列问题，并能根据分布列求随机事件的概率，考查了学生运用组合数处理相关问题的概率，为容易题 ‎15.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.‎ ‎（1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；‎ ‎（2）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望.(用数字作答)‎ ‎【答案】（1）.（2）分布列答案见解析，数学学期望：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考虑求“至少有一个系统不发生故障”的反面为“两个系统都发生故障”的概率，然后用“‎1”‎减，即得结果；‎ ‎（2）分别求出在0，1，2，3时候的概率，列出分布列，由期望公式，求出数学期望即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，系统和在任意时刻都发生故障的概率为：，‎ 所以在任意时刻，至少有一个系统不发生故障的概率.‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎∴；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，要求学生会逆向思考一些数学问题，能够利用相关统计知识处理数学期望以及某个事件的分布列.为容易题 ‎16.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大 ‎【解析】‎ 解：函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，‎ f′(x)＝1－(x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．‎ ‎17.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面与所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为单位正交基底建系，找出与的坐标，用向量法来求解异面直线与所成角；‎ ‎（2）由（1）中建系可知，平面的一个法向量为，再设出平面的法向量，则与平面内的两个不共线向量乘积为0，从而求得，再来求出两个法向量夹角余弦值，进而通过三角函数平方和为1，求得两个平面夹角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系，‎ 则由题意知，，，‎ ‎，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2） 是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取，得，，‎ ‎∴平面的法向量为，‎ 设平面与所成二面角为，‎ ‎∴，‎ ‎∴sinθ.‎ ‎∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要介绍空间向量处理立体几何中异面直线的夹角问题，以及会用空间向量处理二面角的夹角正弦值，考验了学生的空间思维，数学计算能力，为中档题.‎ ‎18.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为，，，假设各盘比赛结果相互独立．‎ ‎（I）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，‎ 则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件．‎ 因为，．‎ 红队至少两人获胜的事件有：，‎ 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率 ‎（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3．‎ 又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，‎ 因此，‎ ‎，‎ 由对立事件的概率公式得 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因此