【数学】甘肃省白银市靖远县第四中学2020-2021学年高二10月月考试题 15页

甘肃省白银市靖远县第四中学2020-2021学年 高二10月月考试题 一、选择题 ‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 如果实数a，b，c满足，那么下列选项中不一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，有且S7＜S8，S8=S9＞S10，则在下列结论中错误的是（ ） ‎ A．a9=0 B．d＜0 ‎ C．S11＞S7 D．S8与S9均为Sn的最大值 ‎6．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，c = 2，，则a等于 ‎ A． B．4 C． D．2‎ ‎7．等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎.‎ ‎8．将9个数排成如下图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为 A A． 18 B．20 C． 512 D．不确定的数 ‎9．若，，，则、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．≥‎ ‎10．等差数列前项和为，若，则的值为（ ）‎ A．9 B．12 C．16 D．17‎ ‎11．已知中，内角所对的边分别是，若三角成等差数列，三边成等比数列，，则此三角形的面积是_______． ‎ A B C D ‎ ‎12．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .‎ A m B 120 C m D 150m 二、填空题 ‎ ‎13．不等式的解集是____ ‎ ‎14．在数列中，，则 ． ‎ ‎15在钝角中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围_______‎ ‎16．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．‎ 三、解答题 ‎ ‎17．已知是各项均为正数的等比数列，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎18．如图，在中，为边上一点，且，已知，.‎ ‎（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的长.‎ ‎19．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎20．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 ‎(1)求;‎ ‎(2)若求△ABC的周长.‎ ‎21．设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和为.‎ ‎22 （本小题满分12分）在△ABC中，分别为内角A，B，C的对边，且 ‎（1）求A的大小； （2）若，试判断△ABC的形状.‎ 参考答案 ‎ ‎★★1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出与中不等式的解集，确定出与，求出与的并集．‎ ‎【详解】‎ 解：集合，1，2，，，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎★★2．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，已知，， ‎ ‎∴，解得 ， ‎ ‎∴，解得 .‎ ‎∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.‎ ‎★★3. 如果实数a，b，c满足，那么下列选项中不一定成立的是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎★★4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎★★★5．数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，有且S7＜S8，S8=S9＞S10，则在下列结论中错误的是（ C ） ‎ A．a9=0 B．d＜0 C．S11＞S7 D．S8与S9均为Sn的最大值 ‎★★★6．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，c = 2，，则a等于 D A． B．4 C． D．2‎ ‎★★7．等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,选B.‎ 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎★★★8．将9个数排成如下图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为 A A． 18 B．20 C． 512 D．不确定的数 ‎★★★9．若，，，则、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．≥‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，两式作差即可得大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由知，，‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.‎ ‎★★★10．等差数列前项和为，若，则的值为（ ）‎ A．9 B．12 C．16 D．17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴得：，，故选A.‎ ‎★★★11．已知中，内角所对的边分别是，若三角成等差数列，三边成等比数列，，则此三角形的面积是_______． ‎ A B C D ‎ ‎★★★★12．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .‎ A m B 120 C m D 150m ‎[解析]　本题考查解三角形中的应用举例．‎ 如图，‎ 在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，‎ ‎∴AC＝100.‎ 在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，‎ ‎∴∠AMC＝45°.‎ 由正弦定理知＝，‎ ‎∴AM＝100.‎ 在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，‎ ‎∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．‎ ‎★13．不等式的解集是 D D． ‎ ‎★★14．在数列中，，则 ． 31‎ ‎★★★15在钝角中，a=1，b=2，则最大边c的取值范围_______‎ ‎★★★★★16．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，‎ 设AD＝DC＝x，在△ABD中，‎ cos∠ADB＝＝，‎ 在△BDC中，cos∠BDC＝＝，‎ ‎∵∠ADB与∠BDC互补，‎ ‎∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，‎ ‎∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R得R＝1.‎ ‎17．已知是各项均为正数的等比数列，.‎ ‎★★（1）求的通项公式；‎ ‎（★★2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；‎ ‎(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，‎ 所以令数列的公比为，，，‎ 所以，解得(舍去)或，‎ 所以数列是首项为、公比为的等比数列，．‎ ‎(2)因为，所以，，，‎ 所以数列是首项为、公差为的等差数列，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．‎ ‎18．如图，在中，为边上一点，且，已知，.‎ ‎★★（1）若是锐角三角形，，求角的大小；‎ ‎★★★（2）若的面积为，求的长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）在中，，，，由正弦定理得，‎ 解得，所以或.‎ 因为是锐角三角形，所以.‎ 又，所以.‎ ‎（2）由题意可得，解得，‎ 由余弦定理得 ，解得，‎ 则.‎ 所以的长为.‎ ‎19．已知数列的前项和为，且.‎ ‎★★（1）求数列的通项公式；‎ ‎★★★（2）求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，可求得时的通项公式，代入检验，满足上式，则可得的通项公式；‎ ‎（2）代入的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，；‎ 当时，，‎ 所以当时，也符合上式，‎ 故.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中与的关系、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.‎ ‎20．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 ‎(1)求;‎ ‎(2)若求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1)(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.‎ 试题解析：（1）由题设得，即.‎ 由正弦定理得.‎ 故.‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎21．设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，‎ ‎★★★（1）求数列与的通项公式；‎ ‎★★★★（2）设，求数列的前n项和为.‎ ‎【答案】（1）＝2n﹣1，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）有题意可得：，‎ 解得（舍去）或，‎ 所以＝2n﹣1，．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴①，‎ ‎②，‎ ‎①﹣②可得，‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22 （本小题满分12分）在△ABC中，分别为内角A，B，C的对边，且 ‎★★★（1）求A的大小； ★★★★（2）若，试判断△ABC的形状.‎