数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期期中考试（2017 12页

‎ 河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期中考试试题 一、选择题 ‎1．已知函数，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设满足，且在上是增函数，且，若函数对所有的，当时都成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 或或 C. 或或 D. ‎ ‎4．已知函数（其中为自然对数底数）在取得极大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知为奇函数， ，若对恒成立，则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数有三个不同的零点， ， （其中），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数， ，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数是周期函数且最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 函数在区间上的值域为 D. 函数在是增函数 ‎8．设双曲线： 的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为， ，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎10．设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为( )‎ A. B. ‎3 C. D. ‎ ‎12．已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 C. 1 D. -1‎ 二、填空题 ‎13．函数，，若使得，则__________.‎ ‎14．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.‎ ‎①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.‎ ‎15．已知函数，，则的取值范围是__________.‎ ‎16．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．‎ 三、解答题 ‎17．设函数， .‎ ‎（1） 关于的方程在区间上有解,求的取值范围；‎ ‎（2） 当时， 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎18．设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方， ，求的范围.‎ ‎19．设等比数列的公比为，前项和.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设，记的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎20．如图，圆： ．‎ ‎（1）若圆与轴相切，求圆的方程；‎ ‎（2）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（3）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆： 相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由。‎ 参考答案 BABDA DCBCA ‎ ‎11．A ‎12．B ‎13．‎ ‎14．①③④‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎17．(1) 的取值范围为；(2) 的取值范围为.‎ ‎（1）方程在一个区间上有解，可以转化为有解，研究该函数的单调性和图像使得常函数和该函数有交点即可。（2）该题可以转化为当时， 恒成立，令研究这个函数的单调性和最值即可。‎ ‎（1）方程即为 令 则．‎ ‎∴当时， 随变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∵， ， ，‎ ‎∴当时， ，‎ ‎∴的取值范围为 ‎（2）依题意，当时， 恒成立 令,‎ 则 ‎ 令,则当时， ，‎ ‎∴函数在上递增，∵, ，‎ ‎∴存在唯一的零点，‎ 且当时， ，当时， ，‎ 则当时， ，当时， .‎ ‎∴在上递减，在上递增，从而.‎ 由得，两边取对数得，‎ ‎∴，∴，∴‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎18．（1）；（2）.‎ 设点的坐标为 因为点坐标为，所以直线的斜率 同理，直线的斜率 由已知有 化简，得点的轨迹方程为 方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，‎ 因为点的坐标为在点的轨迹上，所以 得 ‎， ‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 得，代入（1）得 ‎.‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法三设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 代入（1）得， ，‎ ‎， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 将代入（1）得， ， .‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法五设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以解得.‎ ‎19．（1）；‎ ‎（2）或时， ； 或时， ； ，或时， .‎ ‎（1）因为是等比数列， 可得.‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ 即 上式等价于不等式组： ①‎ 或②‎ 解①式得；解②，由于可为奇数、可为偶数，得.‎ 综上， 的取值范围是.‎ ‎（2）由得 ‎， .‎ 于是.‎ 又因为，且或，所以，‎ 当或时， ，即；‎ 当或时， ，即；‎ 当，或时， ，即.‎ ‎20．（1）；（2）（3）存在，使得 ‎（1）由圆与轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆的方程化成标准方程为： ，由求得.即可得到所求圆的方程为： ；‎ ‎（2）求圆心点坐标为，则 圆心点的轨迹方程为 ‎（3）令，得，即所以 假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，‎ 代入得， ，设从而 因为 而 ‎ ‎ 因为，所以，即，得．‎ 当直线AB与轴垂直时，也成立．故存在，使得