湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（六）试卷 9页

湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（理）（六）试卷 理科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合,，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题,，则命题的真假以及命题的否定分别为 （ ）‎ A．真，，‎ B．真，，‎ C．假，，‎ D．假，，‎ ‎4．已知向量，，若，且，则实数的值为 （ ）‎ A．2 B．4 C．或2 D．或4‎ ‎5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，则下列说法正确的是 （ ）‎ A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于中心对称 ‎8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为 （ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 12． 已知函数的定义域为，若对任意的，‎ 恒成立，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：‎ 基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为 .‎ ‎14．多项式的展开式中，含项的系数为 .‎ ‎15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为 .‎ ‎ ‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16．如第16题图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若,,，‎ 则四边形面积的最大值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.‎ ‎（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；‎ ‎（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，求的分布列及期望.‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，；连接，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切，且与椭圆交于两点.探究：在椭圆上是否存在点，使得，若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在点处的切线的斜率为，求函数在上的最小值；‎ ‎（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 理科数学答案与解析 ‎1．【答案】C【解析】依题意，集合，，‎ 故，故选C.‎ ‎2．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故复数的共轭复数为，故选A.‎ ‎3．【答案】B【解析】不妨取，此时，故命题为真；特称命题的否定为全称命题，故，，故选B.‎ ‎4．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，‎ ‎1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.‎ ‎5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，；第五次；；第六次，；观察可知，判断框中可以填“”，故选B.‎ ‎6．【答案】A【解析】依题意，‎ ‎；‎ ‎；故原式的值为，故选A.‎ ‎7．【答案】D【解析】依题意，，将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数的图象，这是一个奇函数，图象关于中心对称，故函数的对称中心为，故选D.‎ 8． ‎【答案】C【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，此时，‎ 解得，故，故的最小值为 故；令，解得 ‎，即，故选C.‎ ‎9．【答案】A【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出；要使恒成立，需且仅需解得；故的取值不可能为7，故选A.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题答案图 第10题答案图 ‎10．【答案】B【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为或，均为，故选B.‎ ‎11．【答案】A【解析】依题意，；因为，故；设，则，‎ 故，，可知，当时，有最大值25，当时，有小值；故的取值范围为，故选A.‎ ‎12．【答案】B【解析】，可得，令，则，其中，，，又，则，即，因此实数的取值范围是，故选B.‎ ‎13．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.‎ ‎14．【答案】420【解析】依题意，多项式，要凑出，则必须有四个，两个，以及两个，故所求系数为.‎ ‎15．【答案】【解析】因为四边形为等腰梯形，‎ ‎，故；因为,，‎ ‎，‎ 故；取CD的中点E，则E是等腰梯形 外接圆圆心；F是外心，作平面，平面，则O是四棱锥的外接球的球心，且；设四棱锥的外接球半径，则，所以四棱锥外接球的表面积是.‎ ‎16．【答案】【解析】因为，故，‎ 故，故是等腰直角三角形；在中，，‎ 由余弦定理，；；‎ 又，；‎ 易知当时，四边形的面积有最大值，最大值为．‎ ‎17．【解析】（1）依题意，，故，故；‎ 故数列是公比为3的等比数列，因为，故，‎ 解得；故数列的通项公式为；（6分）‎ ‎（2）依题意，，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 故 故，即实数的取值范围为.（12分）‎ ‎18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（4分）‎ ‎（2）依题意，的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为；‎ ‎，，，故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故所求期望.（12分）‎ ‎19．【解析】（1），平面平面，‎ 平面平面，故底面，‎ ‎，两两垂直，以 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知 条件知，，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎,,平面．（6分）‎ ‎（2）由（1）可知，平面的法向量为．‎ 令平面的法向量为，故，‎ 即，取．，‎ 二面角的余弦值为.（12分）‎ ‎20．【解析】（1）依题意，，故.①‎ 将代入椭圆的方程中，可得.②‎ 联立①②，解得，故椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）假设在椭圆上存在点，使得.‎ 依题意，设直线，圆，即.‎ 直线与圆相切，所以，‎ 整理得.当时，切线的斜率不存在，不合题意，舍去；‎ 当且时，得，把代入椭圆 的方程得：.‎ 易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，设，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 因为，故，‎ 即的坐标为.‎ 又因为在椭圆上，所以，‎ 得，把代入得；‎ 因为，所以，，于是或，‎ 综上所述.（12分）‎ ‎21．【解析】（1）依题意，，故，‎ 解得，故；令，故；‎ 因为,,，‎ 故函数在上的最小值为；（4分）‎ ‎（2）依题意，；‎ 问题转化为在有两个解；‎ 令,．‎ ‎①当时,,在上单调递增．‎ 由零点存在性定理，在至多一个零点，与题设发生矛盾． ‎ ‎②当时，令，则．‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 因为，当（或），‎ 要使在内有两个零点，则即可，得，‎ 又因为，所以；综上，实数的取值范围为．（12分）‎ ‎22．【解析】（1）曲线：；直线:；（4分）‎ ‎（2）依题意，曲线；又曲线的参数方程为为参数)，‎ 设曲线上任一点，‎ 则(其中)，‎ 所以点到直线的距离的最小值为.（10分）‎ ‎23．【解析】（1）显然；故，‎ 故不等式的解集为；（5分）‎ ‎（2）依题意，当，，‎ 故，解得；‎ 当时，，‎ 故，解得；‎ 综上所述，实数的值为.（10分）‎