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- 2021-06-30 发布
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第8讲 曲线与方程
最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质;3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
知 识 梳 理
1.曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x,y)=0的实数解满足如下关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点,将其转化为x,y的方程式,并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
3.两曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解.
若此方程组无解,则两曲线无交点.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )
(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( )
解析 对于(2),由方程得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,所以方程表示两条直线,错误;对于(3),前者表示方程,后者表示曲线,错误;对于(4),曲线y=是曲线x=y2的一部分,错误.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题中正确的是( )
A.满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上
B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
C.方程f(x,y)=0所表示的曲线不一定是曲线C
D.以上说法都正确
解析 曲线C可能只是方程f(x,y)=0所表示的曲线的一部分,因此答案C正确.
答案 C
3.已知M(-1,0),N(1,0),|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
解析 由于|PM|-|PN|=|MN|,所以D不正确,应为以N为端点,沿x轴正向的一条射线.
答案 C
4.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________.
解析 连接OP,则|OP|=2,∴P点轨迹是去掉M,N两点的圆,∴方程为x2+y2=4(x≠±2).
答案 x2+y2=4(x≠±2)
5.(选修2-1P35例1改编)曲线C:xy=2上任一点到两坐标轴的距离之积为________.
解析 曲线xy=2上任取一点(x0,y0),则x0y0=2,该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|=|x0y0|=2.
答案 2
6.(2017·宁波月考)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+(a>0),
(1)当a=3时,点P的轨迹是________;
(2)当a≠3时,点P的轨迹是________.
解析 ∵a+≥2=6(a>0).
(1)当a=3时,a+=6,此时|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P点的轨迹为线段F1F2,
(2)当a≠3,a>0时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|.
由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆.
答案 (1)线段F1F2 (2)椭圆
考点一 直接法求轨迹方程
【例1】 (2017·义乌模拟)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:直线l过定点.
(1)解 如图,设动圆圆心为O1(x,y),
由题意,|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点.
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,化简得y2=8x(x≠0).
当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明 由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
其中Δ=-32kb+64>0.
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③
将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).
规律方法 利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.
②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,
且直线AP与BP的斜率之积等于-,则动点P的轨迹方程为________.
解析 因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
答案 x2+3y2=4(x≠±1)
考点二 定义法求轨迹方程
【例2】 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左,右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).
规律方法 (1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程.
(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.
(3)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
【训练2】 已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|=4,动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.
解 如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
由|O1O2|=4,得O1(-2,0),O2(2,0).
设动圆M的半径为r,
则由动圆M与圆O1内切,
有|MO1|=r-1;
由动圆M与圆O2外切,有|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=3.
∴点M的轨迹是以O1,O2为焦点,
实轴长为3的双曲线的左支.
∴a=,c=2,
∴b2=c2-a2=.
∴点M的轨迹方程为-=1.
考点三 相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】 如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点.点A1,A2分别为C2的左,右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
解 由椭圆C2:+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).
设点A的坐标为(x0,y0);由曲线的对称性,
得B(x0,-y0),
设点M的坐标为(x,y),
直线AA1的方程为y=(x+3).①
直线A2B的方程为y=(x-3).②
由①②相乘得y2=(x2-9).③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故y=1-.④
将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0).
规律方法 “相关点法”的基本步骤:
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0);
(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.
【训练3】 已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.+=1(y≠0) B.+y2=1(y≠0)
C.+3y2=1(y≠0) D.x2+=1(y≠0)
解析 依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),
G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得
即代入+=1,
得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).
答案 C
[思想方法]
求轨迹方程的常用方法
1.直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量,求出动点的轨迹方程.
3.相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
[易错防范]
1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.