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  • 2021-06-30 发布

2020届二轮复习等比数列及其前项和课件(32张)(全国通用)

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知 识 梳 理 1. 等比数列的概念 (1) 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比 都 等于 __________ 非零常数,那么这个数列叫 作 等比数列 . 同一个 q 等比数列 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1) 若等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公比是 q ,则其通项公式为 a n = ___________ ; 通项公式的推广: a n = a m q n - m . a 1 q n - 1 3. 等比数列的性质 已知 { a n } 是等比数列, S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 . (1) 若 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈ N + ) ,则有 a k · a l = ________ . (2) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 a k , a k + m , a k + 2 m , … 仍是等比数列,公比为 _____ . (3) 当 q ≠ - 1 ,或 q =- 1 且 n 为奇数时, S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n , … 仍成等比数列,其公比为 ____ . a m · a n q m q n [ 微点提醒 ] 2. 由 a n + 1 = qa n , q ≠ 0 ,并不能立即断言 { a n } 为等比数列,还要验证 a 1 ≠ 0. 3. 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q = 1 与 q ≠ 1 分类讨论,防止因忽略 q = 1 这一特殊情形而导致解题失误 . 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 等比数列公比 q 是一个常数,它可以是任意实数 .(    ) (2) 三个数 a , b , c 成等比数列的充要条件是 b 2 = ac .(    ) (4) 数列 { a n } 为等比数列,则 S 4 , S 8 - S 4 , S 12 - S 8 成等比数列 .(    ) 解析  (1) 在等比数列中, q ≠ 0. (2) 若 a = 0 , b = 0 , c = 0 满足 b 2 = ac ,但 a , b , c 不成等比数列 . (3) 当 a = 1 时, S n = na . (4) 若 a 1 = 1 , q =- 1 ,则 S 4 = 0 , S 8 - S 4 = 0 , S 12 - S 8 = 0 ,不成等比数列 . 答案   (1) ×   (2) ×   (3) ×   (4) × 答案   D 3. ( 必修 5P23 例 2 改编 ) 在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 ________. 解析  设该数列的公比为 q ,由题意知, 243 = 9 × q 3 , q 3 = 27 , ∴ q = 3. ∴ 插入的两个数分别为 9 × 3 = 27 , 27 × 3 = 81. 答案  27 , 81 4. (2019· 马鞍山质检 ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 = 1 , a 3 · a 5 = 4( a 4 - 1) ,则 a 7 的值为 (    ) 答案  B 答案  D 6. (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 在数列 { a n } 中, a 1 = 2 , a n + 1 = 2 a n , S n 为 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n = 126 ,则 n = ________. 答案  6 考点一 等比数列基本量的运算 【例 1 】 (1) (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 + a 2 =- 1 , a 1 - a 3 =- 3 ,则 a 4 = ________. 解析   (1) 由 { a n } 为等比数列,设公比为 q . 显然 q ≠ 1 , a 1 ≠ 0 , 所以 a 4 = a 1 q 3 = 1 × ( - 2) 3 =- 8. (2) 设数列 { a n } 首项为 a 1 ,公比为 q ( q ≠ 1) , 答案   (1) - 8   (2)32 【训练 1 】 (1) 等比数列 { a n } 中各项均为正数, S n 是其前 n 项和,且满足 2 S 3 = 8 a 1 + 3 a 2 , a 4 = 16 ,则 S 4 = (    ) A.9 B.15 C.18 D.30 答案  (1)D   (2)1 考点二 等比数列的判定与证明 【例 2 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 1 + λa n ,其中 λ ≠ 0. (1) 证明 { a n } 是等比数列,并求其通项公式; 由 S n = 1 + λa n , S n + 1 = 1 + λa n + 1 , 得 a n + 1 = λa n + 1 - λa n , 即 a n + 1 ( λ - 1) = λa n , 规律方法   1. 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . 2. 在利用递推关系判定等比数列时,要注意对 n = 1 的情形进行验证 . 【训练 2 】 (2019· 广东省级名校联考 ) 已知 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,且满足 S n - 2 a n = n - 4. (1) 证明: { S n - n + 2} 为等比数列; (2) 求数列 { S n } 的前 n 项和 T n . (1) 证明  因为 a n = S n - S n - 1 ( n ≥ 2) , 所以 S n - 2( S n - S n - 1 ) = n - 4( n ≥ 2) , 则 S n = 2 S n - 1 - n + 4( n ≥ 2) , 所以 S n - n + 2 = 2[ S n - 1 - ( n - 1) + 2]( n ≥ 2) , 又由题意知 a 1 - 2 a 1 =- 3 , 所以 a 1 = 3 ,则 S 1 - 1 + 2 = 4 , 所以 { S n - n + 2} 是首项为 4 ,公比为 2 等比数列 . (2) 解  由 (1) 知 S n - n + 2 = 2 n + 1 , 所以 S n = 2 n + 1 + n - 2 , 于是 T n = (2 2 + 2 3 + … + 2 n + 1 ) + (1 + 2 + … + n ) - 2 n 考点三 等比数列的性质及应用 【例 3 】 (1) 等比数列 { a n } 的各项均为正数,且 a 5 a 6 + a 4 a 7 = 18 ,则 log 3 a 1 + log 3 a 2 + … + log 3 a 10 = (    ) A.12 B.10 C.8 D.2 + log 3 5 (2) 已知数列 { a n } 是等比数列, S n 为其前 n 项和,若 a 1 + a 2 + a 3 = 4 , a 4 + a 5 + a 6 = 8 ,则 S 12 = (    ) A.40 B.60 C.32 D.50 解析   (1) 由等比数列的性质知 a 5 a 6 = a 4 a 7 ,又 a 5 a 6 + a 4 a 7 = 18 ,所以 a 5 a 6 = 9 ,则原式= log 3 ( a 1 a 2 … a 10 ) = log 3 ( a 5 a 6 ) 5 = 10. (2) 数列 S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 , S 12 - S 9 是等比数列,即数列 4 , 8 , S 9 - S 6 , S 12 - S 9 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列,则 S 9 - S 6 = a 7 + a 8 + a 9 = 16 , S 12 - S 9 = a 10 + a 11 + a 12 = 32 ,因此 S 12 = 4 + 8 + 16 + 32 = 60. 答案   (1)B   (2)B 规律方法   1. 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质 “ 若 m + n = p + q ,则 a m · a n = a p · a q ” ,可以减少运算量,提高解题速度 . 2. 在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形 . 此外,解题时注意设而不求思想的运用 . 【训练 3 】 (1) (2019· 西安 质检 ) 在等比数列 { a n } 中,若 a 3 , a 7 是方程 x 2 + 4 x + 2 = 0 的两根,则 a 5 的值是 (    ) 解析  (1) 根据根与系数之间的关系得 a 3 + a 7 =- 4 , a 3 a 7 = 2 ,由 a 3 + a 7 =- 4<0 , a 3 a 7 >0 , 所以 a 3 <0 , a 7 <0 ,即 a 5 <0 , (2) 法一  由等比数列的性质 S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 仍成等比数列,由已知得 S 6 = 3 S 3 , [ 思维升华 ] 1 . 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a 1 , n , q , a n , S n ,一般可以 “ 知三求二 ” ,通过列方程 ( 组 ) 便可迎刃而解 . 2.(1) 方程思想:如求等比数列中的基本量 . (2) 分类讨论思想:如求和时要分 q = 1 和 q ≠ 1 两种情况讨论,判断单调性时对 a 1 与 q 分类讨论 . [ 易错防范 ] 1 . 特别注意 q = 1 时, S n = na 1 这一特殊情况 . 2. S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 未必成等比数列 ( 例如:当公比 q =- 1 且 n 为偶数时, S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 不成等比数列;当 q ≠ - 1 或 q =- 1 时且 n 为奇数时, S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 成等比数列 ) ,但等式 ( S 2 n - S n ) 2 = S n ·( S 3 n - S 2 n ) 总成立 . 数学运算、数学抽象 —— 等差 ( 比 ) 数列性质的应用 1. 数学运算是指在明析运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养 . 本系列数学运算主要表现为:理解数列问题,掌握数列运算法则,探究运算思路,求得运算结果 . 通过对数列性质的学习,发展数学运算能力,促进数学思维发展 . 2. 数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题,能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想 . 类型 1  等差数列两个性质的应用 在等差数列 { a n } 中, S n 为 { a n } 的前 n 项和: (1) S 2 n - 1 = (2 n - 1) a n ; (2) 设 { a n } 的项数为 2 n ,公差为 d ,则 S 偶 - S 奇 = nd . 显然可得 a m ≠ 0 ,所以 a m = 2. 代入上式可得 2 m - 1 = 19 ,解得 m = 10. (2) 设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇 ,偶数项的和为 S 偶 ,等差数列的公差为 d . 答案   (1)10   (2)5 类型 2  等比数列两个性质的应用 在等比数列 { a n } 中, (1) 若 m + n = p + q ( m , n , p , q ∈ N + ) ,则 a n · a m = a p · a q ; (2) 当公比 q ≠ - 1 时, S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n , … 成等比数列 ( n ∈ N + ). 【例 2 】 (1) 等比数列 { a n } 中, a 4 = 2 , a 5 = 5 ,则数列 {lg a n } 的前 8 项和等于 (    ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2) 设等比数列 { a n } 中,前 n 项和为 S n ,已知 S 3 = 8 , S 6 = 7 ,则 a 7 + a 8 + a 9 等于 (    ) 解析  (1) 数列 {lg a n } 的前 8 项和 S 8 = lg a 1 + lg a 2 + … + lg a 8 = lg( a 1 · a 2 · … · a 8 ) = lg( a 1 · a 8 ) 4 = lg( a 4 · a 5 ) 4 = lg(2 × 5) 4 = 4. 答案  (1)C   (2)A 类型 3  等比数列前 n 项和 S n 相关结论的活用 (1) 项的个数的 “ 奇偶 ” 性质:等比数列 { a n } 中,公比为 q . 若共有 2 n 项,则 S 偶 ∶ S 奇 = q . (2) 分段求和: S n + m = S n + q n S m ( q 为公比 ). 【例 3 】 (1) 已知等比数列 { a n } 共有 2 n 项,其和为- 240 ,且奇数项的和比偶数项的和大 80 ,则公比 q = ________.