2020届二轮复习等比数列及其前项和课件（32张）（全国通用） 32页

知 识 梳 理 1. 等比数列的概念 (1) 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都 等于 __________ 非零常数，那么这个数列叫 作 等比数列 . 同一个 q 等比数列 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1) 若等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比是 q ，则其通项公式为 a n ＝ ___________ ； 通项公式的推广： a n ＝ a m q n － m . a 1 q n － 1 3. 等比数列的性质 已知 { a n } 是等比数列， S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 . (1) 若 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N + ) ，则有 a k · a l ＝ ________ . (2) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … 仍是等比数列，公比为 _____ . (3) 当 q ≠ － 1 ，或 q ＝－ 1 且 n 为奇数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n ， … 仍成等比数列，其公比为 ____ . a m · a n q m q n [ 微点提醒 ] 2. 由 a n ＋ 1 ＝ qa n ， q ≠ 0 ，并不能立即断言 { a n } 为等比数列，还要验证 a 1 ≠ 0. 3. 在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q ＝ 1 与 q ≠ 1 分类讨论，防止因忽略 q ＝ 1 这一特殊情形而导致解题失误 . 基 础 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数 .( 　　 ) (2) 三个数 a ， b ， c 成等比数列的充要条件是 b 2 ＝ ac .( 　　 ) (4) 数列 { a n } 为等比数列，则 S 4 ， S 8 － S 4 ， S 12 － S 8 成等比数列 .( 　　 ) 解析　 (1) 在等比数列中， q ≠ 0. (2) 若 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ， c ＝ 0 满足 b 2 ＝ ac ，但 a ， b ， c 不成等比数列 . (3) 当 a ＝ 1 时， S n ＝ na . (4) 若 a 1 ＝ 1 ， q ＝－ 1 ，则 S 4 ＝ 0 ， S 8 － S 4 ＝ 0 ， S 12 － S 8 ＝ 0 ，不成等比数列 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 答案 　 D 3. ( 必修 5P23 例 2 改编 ) 在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ________. 解析　 设该数列的公比为 q ，由题意知， 243 ＝ 9 × q 3 ， q 3 ＝ 27 ， ∴ q ＝ 3. ∴ 插入的两个数分别为 9 × 3 ＝ 27 ， 27 × 3 ＝ 81. 答案　 27 ， 81 4. (2019· 马鞍山质检 ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 3 · a 5 ＝ 4( a 4 － 1) ，则 a 7 的值为 ( 　　 ) 答案　 B 答案　 D 6. (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， S n 为 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 126 ，则 n ＝ ________. 答案　 6 考点一　等比数列基本量的运算 【例 1 】 (1) (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 2 ＝－ 1 ， a 1 － a 3 ＝－ 3 ，则 a 4 ＝ ________. 解析 　 (1) 由 { a n } 为等比数列，设公比为 q . 显然 q ≠ 1 ， a 1 ≠ 0 ， 所以 a 4 ＝ a 1 q 3 ＝ 1 × ( － 2) 3 ＝－ 8. (2) 设数列 { a n } 首项为 a 1 ，公比为 q ( q ≠ 1) ， 答案 　 (1) － 8 　 (2)32 【训练 1 】 (1) 等比数列 { a n } 中各项均为正数， S n 是其前 n 项和，且满足 2 S 3 ＝ 8 a 1 ＋ 3 a 2 ， a 4 ＝ 16 ，则 S 4 ＝ ( 　　 ) A.9 B.15 C.18 D.30 答案　 (1)D 　 (2)1 考点二　等比数列的判定与证明 【例 2 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1 ＋ λa n ，其中 λ ≠ 0. (1) 证明 { a n } 是等比数列，并求其通项公式； 由 S n ＝ 1 ＋ λa n ， S n ＋ 1 ＝ 1 ＋ λa n ＋ 1 ， 得 a n ＋ 1 ＝ λa n ＋ 1 － λa n ， 即 a n ＋ 1 ( λ － 1) ＝ λa n ， 规律方法 　 1. 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . 2. 在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n ＝ 1 的情形进行验证 . 【训练 2 】 (2019· 广东省级名校联考 ) 已知 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，且满足 S n － 2 a n ＝ n － 4. (1) 证明： { S n － n ＋ 2} 为等比数列； (2) 求数列 { S n } 的前 n 项和 T n . (1) 证明　 因为 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) ， 所以 S n － 2( S n － S n － 1 ) ＝ n － 4( n ≥ 2) ， 则 S n ＝ 2 S n － 1 － n ＋ 4( n ≥ 2) ， 所以 S n － n ＋ 2 ＝ 2[ S n － 1 － ( n － 1) ＋ 2]( n ≥ 2) ， 又由题意知 a 1 － 2 a 1 ＝－ 3 ， 所以 a 1 ＝ 3 ，则 S 1 － 1 ＋ 2 ＝ 4 ， 所以 { S n － n ＋ 2} 是首项为 4 ，公比为 2 等比数列 . (2) 解　 由 (1) 知 S n － n ＋ 2 ＝ 2 n ＋ 1 ， 所以 S n ＝ 2 n ＋ 1 ＋ n － 2 ， 于是 T n ＝ (2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1 ) ＋ (1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ) － 2 n 考点三　等比数列的性质及应用 【例 3 】 (1) 等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 5 a 6 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，则 log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ … ＋ log 3 a 10 ＝ ( 　　 ) A.12 B.10 C.8 D.2 ＋ log 3 5 (2) 已知数列 { a n } 是等比数列， S n 为其前 n 项和，若 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 4 ， a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＝ 8 ，则 S 12 ＝ ( 　　 ) A.40 B.60 C.32 D.50 解析 　 (1) 由等比数列的性质知 a 5 a 6 ＝ a 4 a 7 ，又 a 5 a 6 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，所以 a 5 a 6 ＝ 9 ，则原式＝ log 3 ( a 1 a 2 … a 10 ) ＝ log 3 ( a 5 a 6 ) 5 ＝ 10. (2) 数列 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 ， S 12 － S 9 是等比数列，即数列 4 ， 8 ， S 9 － S 6 ， S 12 － S 9 是首项为 4 ，公比为 2 的等比数列，则 S 9 － S 6 ＝ a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 16 ， S 12 － S 9 ＝ a 10 ＋ a 11 ＋ a 12 ＝ 32 ，因此 S 12 ＝ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＝ 60. 答案 　 (1)B 　 (2)B 规律方法 　 1. 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 a m · a n ＝ a p · a q ” ，可以减少运算量，提高解题速度 . 2. 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形 . 此外，解题时注意设而不求思想的运用 . 【训练 3 】 (1) (2019· 西安 质检 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 3 ， a 7 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 2 ＝ 0 的两根，则 a 5 的值是 ( 　　 ) 解析　 (1) 根据根与系数之间的关系得 a 3 ＋ a 7 ＝－ 4 ， a 3 a 7 ＝ 2 ，由 a 3 ＋ a 7 ＝－ 4<0 ， a 3 a 7 >0 ， 所以 a 3 <0 ， a 7 <0 ，即 a 5 <0 ， (2) 法一 　由等比数列的性质 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 仍成等比数列，由已知得 S 6 ＝ 3 S 3 ， [ 思维升华 ] 1 . 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a 1 ， n ， q ， a n ， S n ，一般可以 “ 知三求二 ” ，通过列方程 ( 组 ) 便可迎刃而解 . 2.(1) 方程思想：如求等比数列中的基本量 . (2) 分类讨论思想：如求和时要分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 两种情况讨论，判断单调性时对 a 1 与 q 分类讨论 . [ 易错防范 ] 1 . 特别注意 q ＝ 1 时， S n ＝ na 1 这一特殊情况 . 2. S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 未必成等比数列 ( 例如：当公比 q ＝－ 1 且 n 为偶数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 不成等比数列；当 q ≠ － 1 或 q ＝－ 1 时且 n 为奇数时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 成等比数列 ) ，但等式 ( S 2 n － S n ) 2 ＝ S n ·( S 3 n － S 2 n ) 总成立 . 数学运算、数学抽象 —— 等差 ( 比 ) 数列性质的应用 1. 数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养 . 本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果 . 通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展 . 2. 数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想 . 类型 1 　等差数列两个性质的应用 在等差数列 { a n } 中， S n 为 { a n } 的前 n 项和： (1) S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n ； (2) 设 { a n } 的项数为 2 n ，公差为 d ，则 S 偶 － S 奇 ＝ nd . 显然可得 a m ≠ 0 ，所以 a m ＝ 2. 代入上式可得 2 m － 1 ＝ 19 ，解得 m ＝ 10. (2) 设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇 ，偶数项的和为 S 偶 ，等差数列的公差为 d . 答案 　 (1)10 　 (2)5 类型 2 　等比数列两个性质的应用 在等比数列 { a n } 中， (1) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N + ) ，则 a n · a m ＝ a p · a q ； (2) 当公比 q ≠ － 1 时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n ， … 成等比数列 ( n ∈ N + ). 【例 2 】 (1) 等比数列 { a n } 中， a 4 ＝ 2 ， a 5 ＝ 5 ，则数列 {lg a n } 的前 8 项和等于 ( 　　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2) 设等比数列 { a n } 中，前 n 项和为 S n ，已知 S 3 ＝ 8 ， S 6 ＝ 7 ，则 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 等于 ( 　　 ) 解析　 (1) 数列 {lg a n } 的前 8 项和 S 8 ＝ lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ … ＋ lg a 8 ＝ lg( a 1 · a 2 · … · a 8 ) ＝ lg( a 1 · a 8 ) 4 ＝ lg( a 4 · a 5 ) 4 ＝ lg(2 × 5) 4 ＝ 4. 答案　 (1)C 　 (2)A 类型 3 　等比数列前 n 项和 S n 相关结论的活用 (1) 项的个数的 “ 奇偶 ” 性质：等比数列 { a n } 中，公比为 q . 若共有 2 n 项，则 S 偶 ∶ S 奇 ＝ q . (2) 分段求和： S n ＋ m ＝ S n ＋ q n S m ( q 为公比 ). 【例 3 】 (1) 已知等比数列 { a n } 共有 2 n 项，其和为－ 240 ，且奇数项的和比偶数项的和大 80 ，则公比 q ＝ ________.