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- 2021-06-30 发布
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考点规范练22 平面向量的概念及线性运算
基础巩固组
1.
如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为( )
A.3e1-2e2
B.-3e1-3e2
C.2e1+3e2
D.3e1+2e2
2.在△ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,则AD=( )
A.23b+13c B.53c-23b
C.23b-13c D.13b+23c
3.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是( )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
4.
如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD=λAC+μAE,则λ-μ的值为( )
A.3 B.2
C.1 D.-3
5.(2017浙江嘉兴测试)设点M是线段AB的中点,点C在直线AB外,|AB|=6,|CA+CB|=|CA-CB|,则|CM|=( )
A.12 B.6 C.3 D.32
6.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题有 (填序号).
7.(2017浙江绍兴质检)设点P是△ABC所在平面内的一点,且BC+BA=2BP,则PC+PA= .
8.(2017浙江嘉兴七校联考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1= ,λ2= .
能力提升组
9.在△ABC中,N为边AC上一点,且AN=13NC,P是BN上一点,若AP=mAB+211AC,则实数m的值为( )
A.911 B.511 C.411 D.311
10.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为( )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a+13b D.23a+23b
11.(2017浙江温州八校检测)设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
12.(2017浙江宁波大学附中)在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=267.若动点P满足AP=(1-λ)AB+2λ3AC(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积为( )
A.5 B.10 C.26 D.46
13.
在Rt△ABC中,∠C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若CP=xCD+yCE,则x+y的值可以是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
14.(2017浙江吴越联考)已知△ABC和点M,满足MA+MB+MC=0,若存在实数m,使得AB+AC=mAM成立,则点M是△ABC的 ,实数m= .
15.
(2017浙江湖州模拟)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=12EC,BE与CD相交于点P,若AP=xAB+yAC(x,y∈R),则x= ,y= .
16.
如图所示,A,B分别是射线OM,ON上的两点(不与O点重合),给出下列向量:①OA+2OB;②12OA+13OB;③34OA+13OB;④34OA+15OB;⑤34OA-15OB.若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有 .
17.设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
答案:
1.D 由题意,得a=e1+2e2,b=e1-2e2,c=e1+2e2,所以a+b+c=e1+2e2+e1-2e2+e1+2e2=3e1+2e2,故选D.
2.A AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.
3.C a|a|=b|b|⇔a=|a|b|b|⇔a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0.B,D选项中a和b可能反向.A选项中λ<0,不符合λ>0.故选C.
4.D ∵E是DC的中点,∴AE=12(AC+AD).
∴AD=-AC+2AE.∴λ=-1,μ=2,λ-μ=-1-2=-3.
5.C ∵|CA+CB|=2|CM|,|CA-CB|=|BA|,∴2|CM|=|BA|=6,∴|CM|=3,故选C.
6.①②③ 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③是假命题.
7.0 因为BC+BA=2BP,由平行四边形法则知,点P为AC的中点,故PC+PA=0.
8.
-16 23 如图所示,DE=BE-BD=23BC-12BA=23(AC-AB)+12AB=-16AB+23AC.又DE=λ1AB+λ2AC,且AB与AC不共线,所以λ1=-16,λ2=23.
9.D 由AP=mAB+211AC,得AP=mAB+211×4AN=mAB+811AN.因为点B,P,N三点共线,所以m+811=1,即m=311.
10.A 由题意知,CD是∠ACB的角平分线,
故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)
=23CB+13CA=23a+13b,故选A.
11.B ∵BC=a+b,CD=a-2b,
∴BD=BC+CD=2a-b.
由A,B,D三点共线,知AB,BD共线.
设AB=λBD,∴2a+pb=λ(2a-b),
∴2=2λ,p=-λ,∴λ=1,p=-1.
12.A 设AD=23AC,
∵AP=(1-λ)AB+2λ3AC=(1-λ)AB+λAD,
∴B,D,P三点共线.
∴P点轨迹为直线BD.
在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=267,
∴sin C=57.∴S△ABC=12×7×6×57=15,
∴S△BCD=13S△ABC=5.
13.
B 设圆心为O,半径为r,则OD⊥AC,OE⊥BC,∴3-r+4-r=5,解得r=1.
连接DE,则当x+y=1时,P在线段DE上,排除A;
在AC上取点M,在CB上取点N,使得CM=2CD,CN=2CE,连接MN,
∴CP=x2CM+y2CN.
则点P在线段MN上时,x2+y2=1,故x+y=2.
同理,当x+y=4或x+y=8时,P点不在三角形内部,排除C,D.故选B.
14.重心 3 由MA+MB+MC=0知,点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点,
则AM=23AD=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),
所以有AB+AC=3AM,故m=3.
15.47 17 由题可知AP=AD+DP=AD+λDC
=AD+λ(BC-BD)
=23AB+λAC-AB-13BA
=23(1-λ)AB+λAC.
又AP=AE+EP=AE+μEB=AE+μ(CB-CE)
=13AC+μAB-AC-23CA
=μAB+13(1-μ)AC,
所以可得23(1-λ)=μ,13(1-μ)=λ,解得λ=17,μ=47,
故AP=47AB+17AC,所以x=47,y=17.
16.②④
17.(1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),
∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,
∴AB,BD共线.
∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.