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- 2021-06-30 发布
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核心素养测评四十四 利用空间向量求线线角与线面角
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C. l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角),
因为cos==,
所以=60°.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<,>的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos<,>=-,sin<,>=.
3.已知△ABC与△BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为θ,则cos θ= ( )
A.- B.
C.- D.
9
【解析】选D.如图,因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,
所以取BC中点O,则AO,BC,OD两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系O-xyz.
则A(0,0,2),B(0,-2,0),C(0,2,0),D(2,0,0),所以=(0,-2,-2),=(2,-2,0),
故cos<,>==,所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.建系如图,设正方体棱长为1,则
A1(1,0,1),E1,,0,F0,,1,B1(1,1,1).
=(0,1,0),=0,,-1,
=-1,,0.
设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),
则
9
即
令y=2,则
所以n=(1,2,1),cos==.
设A1B1与平面A1EF的夹角为θ,
则sin θ=cos=,
即所求线面角的正弦值为.
5.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选A.如图,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),
P0,-,,则=(2a,0,0),
=-a,-,,=(a,a,0),
设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),
9
则解得可取n=(0,1,1),
则cos<,n>===,
又因为0°<<,n><180°,
所以<,n>=60°,
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________.
【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由AB=AC=1,PA=2,
得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),
D,0,0,E,,0,F0,,1.
所以=(0,0,-2),=0,,0,
=-,,1.
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
9
则由
得
取z=1,则n=(2,0,1),
设直线PA与平面DEF所成的角为θ,
则sin θ=|cos|==,
所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
答案:
7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是,则棱AB的长度是________.
【解析】如图建立坐标系.设AB=a,则
A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0),
所以=(a,0,2),=(0,1,-2),
所以|cos<,>|
=
9
==,
解得a=1,所以棱AB的长度是1.
答案:1
8.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.
【解析】连接A1B交AB1于点O,取A1C1的中点D,连接B1D,DO.
因为O,D分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD∥BC1,所以∠DOB1或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.
设各棱长为a,则DB1=a.
因为∠A1AB=60°,所以OB1=AO=a.
又因为=+=+-,
所以=(+-)2
=+2·+-2·-
2·+
=a2+2a2cos 60°+a2-2a2cos 60°-2a2cos 60°+a2=2a2,所以||=a,
所以OD=BC1=a.
在△DOB1中,由余弦定理得
9
cos∠DOB1==,
所以AB1与BC1所成角的余弦值为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小.
【解析】如图所示,
以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),=(0,0,1).
设=(m,m,1)(m>0),
由已知,<,>=60°,
由·=||·||·cos<,>,
可得2m=,
解得m=,所以=,,1,
9
因为cos<,>==,
又因为0°<<,><180°,
所以<,>=45°,
即DH与CC′所成的角为45°.
10.(2020·黄冈模拟)如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
(1)若M为CD的中点,求证:AM丄平面AA1B1B.
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
连接AC,则△ACD为等边三角形,
又因为M为CD的中点,
所以AM⊥CD,由CD∥AB,
所以AM⊥AB,
因为AA1⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,
所以AM⊥AA1,
又因为AB∩AA1=A,
所以AM⊥平面AA1B1B.
(2)因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,
所以∠AMD=∠BAM=90°,
所以DM=1,AM=,
又因为AA1⊥底面ABCD,
分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,
9
建立如图所示的空间直角坐标系,
A1(0,0,2),B(2,0,0),D,
D1,
所以=,
=(-3,,0),
=(2,0,-2),
设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),
则有⇒
⇒y=x=z,
令x=1,则n=(1,,1),
所以直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值sin θ=|cos
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