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- 2021-06-30 发布
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第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1.编写意图
本单元内容是高中数 中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.
因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导 生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强 生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识 络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.
2.教 建议
本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:
(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.
3.课时安排
本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.
第24讲 平面向量的概念及其线性运算
考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
2.理解向量的几何意义.
3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
平面向量的概念
概念辨析、应用等
★☆☆
平面向量的线性运算
加、减、数乘运算及其应用
2016全国卷Ⅱ3,2015全国卷Ⅰ7
★★☆
共线向量
根据向量共线确定参数值、应用等
2015全国卷Ⅱ13
★☆☆
真题再现
■ [2017-2013 课标全国真题再现
1.[2015·全国卷Ⅰ 设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 ( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
[解析 A 由题意知=+=+=+ (-)=-+.
2.[2015·全国卷Ⅱ 设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
[答案
[解析 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.
■ [2016-2015 其他省份类似高考真题
[2016·北京卷 设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析 D 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.大小 方向 大小 长度 |a| || 0 0 1 1
相同 长度 相同 长度 相反 -a 不确定的 任意的
平行
2.和 三角形 平行四边形 b+a a+(b+c) 相反向量
三角形 a+(-b) 向量 数乘 λa |λ||a| 相同 相反
0 λa+λb λ1a+λ2a
3.b=λa
对点演练
1. [解析 -+-+++=(++++)-(+)=.
2.(4) [解析 根据向量的概念可知(4)错误.
3. (a+b) [解析 ∵+=,+=,=-,∴= (+)= (a+b).
4.2 [解析 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.
5.② [解析 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.
6.等腰梯形 [解析 =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
7.[2,6 [解析 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6 .此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨 (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.
(1)C (2)①② [解析 (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.
(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.
③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.
④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.
变式题 (1)D (2)A [解析 (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.
(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.
对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.
例2 [思路点拨 (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.
(1)D (2)直角三角形 [解析 (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.
(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.
例3 [思路点拨 (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系.
(1)B (2)B [解析 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则= (+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.
(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.
例4 [思路点拨 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.
A [解析 ∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则 -=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.
强化演练
1.A [解析 +=(-)+(+)=+=+= (+)=,故选A.
2.A [解析 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.
3.D [解析 =-=-=+-+=-,故选D.
4. [解析 设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则||=|a-b|,||=|a+b|.∵|a|=|b|=1,且|a-b|=,∴||=|a|=|b|,∴平行四边形OACB是正方形,∴||=||=,即|a+b|=.
5.2 [解析 因为O是BC的中点,所以+=2,即m+n=2,则=m+n.又因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,即m+n=2.
例5 [思路点拨 根据平面向量共线定理,引入实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),然后通过比较系数建立方程组求解.
A [解析 若向量a与b共线,则存在实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),则有解得λ=-,故选A.
例6 [思路点拨 (1)首先根据向量加减法法则寻找A,B,C,D四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)首先将A,B,C三点共线问题转化为与共线问题,然后利用向量共线定理求解.
(1)A (2)D [解析 (1)∵=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,∴=+=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=,∴A,B,D三点共线,故选A.
(2)由A,B,C三点共线,得与共线,则存在实数μ,使得=μ,则有解得λ=μ=-1或2,故选D.
强化演练
1.A [解析 ①a=b,∴a,b共线;②a=-6-e1+e2=-6b,∴a,b共线;③b=-2(e1-e2),不存在λ∈R,使得a=λb成立,∴a,b不共线.故选A.
2.D [解析 由=+,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,故选D.
3.D [解析 由题意知,存在实数λ,使a=λb,即e1+ e2=λ( e1+e2),由向量相等得解得 =±1,故选D.
4.B [解析 设E是BC边的中点,则 (+)=.由题意得=,所以== (+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.
【备选理由】例1对共线定理加深理解,例2、例3是两个综合性较强的题目,可供 有余力的 生选用.
1 [配合例5使用 [2017·北京海淀区期中 在△ABC中,点D满足=2-,则( )
A.点D不在直线BC上
B.点D在线段BC的延长线上
C.点D在线段BC上
D.点D在线段CB的延长线上
[解析 D 由=2-⇒-=-⇒=,故点D在线段CB的延长线上,故选D.
2 [配合例4使用 [2017·上海黄浦区二模 如图所示,∠BAC=,圆M与AB,AC分别相切于点D,E,AD=1,点P是圆M内任意一点(含边界),且=x+y(x,y∈R),则x+y的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
[解析 B 连接AM并延长,线段AM及其延长线分别交圆M于Q,T两点,连接DE,与AM交于点R,显然=+,此时x+y=1.由于AD=AE=1,∠BAC=,∴AM=2,DM=.∵点P是圆M内任意一点(含边界),∴2-≤AP≤2+,且当A,P,M三点共线时x+y取得最值.当P位于Q点时,AQ=2-,AR=,则==(4-2)=(2-)+(2-),此时x+y取得最小值4-2;同理可得,当点P位于T点时,=(2+)+(2+),此时x+y取得最大值4+2.故选B.
3 [配合例3使用 [2017·乐山调研 如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是圆弧AB的两个三等分点,=a,=b,则= ( )
A.a-b B. a-b
C.a+b D. a+b
[解析 D 连接OC,OD,CD,由点C,D是圆弧AB的两个三等分点,得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.