【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与平面向量学案 18页

‎3.三角函数与平面向量 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1．三角函数的定义：‎ 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ 特别地，当r＝1时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.‎ ‎[应用1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎2．弧长公式：l＝|α|R，扇形面积公式：S＝lR＝|α|R2,1弧度(1 rad)＝≈57.3°.‎ ‎[应用2]　已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积．‎ ‎[解]　设扇形的半径为r, 弧长为l，则有，解得 .‎ 故扇形的面积为S＝rl＝4 cm2.‎ ‎3．关于函数y＝Asin(ωx＋φ)，( A，ω>0)‎ ‎①五点法作图；‎ ‎[应用3]　函数f(x)＝sin x＋2|sin x|, x∈(0,2π)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(1,3)．(要作出y＝f(x)的图象，运用数形结合的思想求解. )‎ ‎② 周期T＝.一般 说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．如y＝sin2x, y＝|cos x|，但y＝|tan x|的周期是π，y＝|sin x|＋|cos x|的周期是；函数y＝sin(x2), y＝sin|x|都不是周期函数．‎ ‎[应用4]　函数y＝|sin x|cos x－1的最小正周期与最大值分别为________. ‎ ‎【导 号：07804168】‎ ‎[解析]　y＝ 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π，最大值为－ ‎. ‎ ‎[答案]　2π；－ ‎③ 单调性和对称性：‎ y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)；单调递减区间为(k∈Z)；‎ 对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．‎ y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)；单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ 对称轴为x＝kπ(k∈Z)；对称中心为(kπ＋，0)(k∈Z)．‎ y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)；对称中心为(k∈Z)．‎ ‎[应用5]　函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递减区间为________．‎ ‎[解析]　∵x∈[－π，0]，∴x－∈，令z＝x－，则z∈，‎ ‎∵正弦函数y＝sin z在上单调递增，‎ ‎∴由－≤x－≤－得：－≤x≤0.‎ ‎∴函数f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的单调递增区间为.‎ ‎∴函数f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的单调递减区间为.‎ ‎[答案]　 ‎[应用6]　求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在 [0，π]上的单调递增区间．‎ ‎[解]　∵函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x ＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋sin2x ‎ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．‎ 故该函数的最小正周期是π.‎ 当2x－＝2kπ－时，即x＝kπ－时，y有最小值．‎ 由于函数y＝2sin，∴ymin＝－2，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 令k＝0时，－ ≤x≤.‎ 又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， k＝1时， π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π.‎ 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是，.‎ ‎④ 变换：‎ y＝sin xy＝siny＝sin y＝sin xy＝sin(2x)y＝sin 你知道上述两种变换过程的区别吗？‎ ‎[应用7]　要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin的图象上所有的点(　　)‎ A．横坐标缩短到原 的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ B．横坐标缩短到原 的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 ‎ C．横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 ‎ D．横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 ‎[解析]　将函数y＝sin(2x＋)图象上所有的点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(x＋)的图象；再向左平行移动个单位长度后便得y＝sin(x＋＋)＝cos x的图象．故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[应用8]　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. ‎ ‎【导 号：07804169】‎ A．　　 B． C．0 D．－ ‎[解析]　y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin，‎ 由于所得函数为偶函数，则 f(0)＝sin＝±1，‎ φ＋＝kπ＋⇒φ＝kπ＋，k∈Z，取k＝0得φ＝，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎⑤用待定系数法求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式．‎ 由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上“特殊点”的坐标 确定φ.‎ 特别提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．‎ ‎[应用9]　已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图4所示，则φ＝________.‎ 图4‎ ‎[解析]　由图象可得T＝2＝π＝，解之得ω＝.将代入y＝sin，得sin＝－1，则π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝π. ‎ ‎[答案]　π.‎ ‎4．三角恒等变换的切入点 ‎(1)角的变换：可利用和、差、倍、半角公式；‎ ‎(2)名的互换：诱导公式、正切化正余弦公式；‎ ‎(3)次的变换：利用升、降幂公式；‎ ‎(4)形的变换：统一函数形式．‎ 值得注意的是：‎ ‎①在三角恒等变换中，要特别注意角的各种变换．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β， ＝－；‎ ‎[应用10]　已知sin(－α)＝，则sin(π＋2α)＝________.‎ ‎[解]　－.(提示：设－α＝β)‎ ‎②注意sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者间的关系．‎ ‎[应用11]　已知θ∈，sin θ－cos θ＝，求的值．‎ ‎[解]　＝＝＝，‎ ‎ 因为θ∈，sin θ－cos θ＝，所以sin θcos θ＝，sin θ＋cos θ＝，所以原式＝.‎ ‎③在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点．‎ ‎[应用12]　设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝________. ‎ ‎【导 号：07804170】‎ ‎[解析]　∵＝＝＝cos2α＋2cos2α＝2cos2α＋1＝∴cos2α＝.又∵α为第四象限角，即2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z，‎ ‎∴4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，k∈Z，即2α为第三、四象限角．‎ ‎∴sin2α＝－＝－＝－.‎ ‎∴tan2α＝＝＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎④注意二倍角公式的变形，如： sin2α＝，cos2α＝.‎ 辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.‎ ‎[应用13]　已知函数f(x)＝sincos＋cos2 .‎ ‎(1) 将f(x)写成Asin(ωx＋φ)＋k的形式．并求其图象对称中心的横坐标；‎ ‎(2) 如果△ABC的三边，a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝sin＋，‎ 由sin＝0，即x ＋＝kπ(k∈Z)．‎ 得x＝π，k∈Z.‎ 即对称中心的横坐标为π，k∈Z.‎ ‎(2)由已知b2＝ac，cos x＝＝ ‎＝－≥，‎ 又x＝B∈(0，π)，‎ ‎∴0＜x≤，‎ ‎∴x＋∈(，]．‎ ‎∴sin＜sin≤1.‎ ‎∴b>csin B知，C有两解．也可依已知条件，画出△ABC(图略)，由图知有两解．故选C.‎ ‎[答案]　C ‎6．向量共线基本定理：a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)⇔x1y2－x2y1＝0‎ ‎[应用16]　若a＝(2，－2)，则与a平行的单位向量的坐标为________．‎ ‎[答案]　， ‎7．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 特别地，＝λ1＋λ2，则λ1＋λ2＝1是三点P，A，B共线的充要条件．‎ ‎[应用17]　如图6，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.‎ 图6‎ ‎[解析]　由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x).又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x).又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.‎ ‎[答案]　 ‎8．夹角与数量积的关系 ‎(1)当θ为锐角时，a·b＞0，且a、b不同向，a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件；‎ ‎(2)当θ为直角时，a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a⊥b，还可能a＝0或b＝0.‎ ‎(3)当θ为钝角时，a·b＜0，且a、b不反向，a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件．‎ ‎[应用18]　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________．‎ ‎[解析]　由θ为锐角，得a·b＞0，且a、b不同向．‎ ‎∴0<≠1，∴，解得 ‎∴λ的取值范围是{λ|λ>－且λ≠2}．‎ ‎[答案]　{λ|λ>－且λ≠2}‎ ‎9．解决向量问题有两条途径：‎ 数的角度：①利用平面向量基本定理，用两个基向量表示所求向量； ②建系，利用坐标运算．‎ 形的角度：利用向量运算的几何意义．‎ ‎[应用19]　如图7在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝2，D为BC边上一点，＝2，则·＝________.‎ 图7‎ ‎[答案]　 ‎10．向量中常用的结论：‎ ‎(1)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A、B、C共线；‎ ‎(2)在△ABC中，若D是BC边的中点，则＝(＋)；‎ ‎(3)已知O，N，P在△ABC所在平面内．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心；若＋＋＝0，则N为△ABC的重心；若·＝·＝·，则P为△ABC的垂心．‎ ‎[应用20]　已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则(＋)·(＋)＝________. ‎ ‎【导 号：07804172】‎ ‎[解析]　取边长为1的等边△ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，‎ 则＋＝2，＋＝2，‎ 而由等边三角形的性质可得，OA＝2OD，OD⊥AB，‎ 所以∠AOD＝，‎ 同理可得∠AOE＝，‎ 再根据OD＝OE＝·＝，可得(＋)·(＋)＝2·2＝4·＝4××cos＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎■查缺补漏…………………………………………………………………………·‎ ‎1．点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于(　　)‎ A．第一象限　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[因为sin2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°<0，cos 2‎ ‎ 018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos 38°<0，所以点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，选C.]‎ ‎2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B． C. D． A　[(a－b)⊥(3a＋2b)⇒(a－b)·(3a＋2b)＝0⇒3a2－2b2－a·b＝0⇒a·b＝b2.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝⇒〈a，b〉＝.选A.‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为(　　)‎ ‎【导 号：07804173】‎ A. B． C. D． A　[因为bsin B－asin A＝asin C，所以b2－a2＝ac，‎ ‎∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝4a2－ac＝3a2，‎ ‎∴cos B＝＝＝，‎ 由于00，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ x x1‎ x2‎ x3‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π Asin(ωx＋φ)＋B ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若<α<π，f＝，求f的值. ‎ ‎【导 号：07804175】‎ ‎[解]　(1)由题意可得，即.‎ 由题意可得，即 ‎∴函数f(x)的解析式为：f(x)＝3sin＋1‎ ‎(2)由f＝可得3sin＋1＝，化简得sin＝，‎ ‎∵f＝3sin＋1‎ ‎＝3sin＋1 ＝－3sin＋1‎ ‎＝－6sin·cos＋1.‎ 又∵α∈，∴α＋∈，‎ ‎∴cos＝－，‎ f＝－6sincos＋1＝－6××＋1＝.‎ ‎12．(2017·青岛模拟)已知向量，a＝，b＝，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若