2018届二轮复习平面向量学案（江苏专用） 8页

专题7：平面向量(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．‎ ‎(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.‎ 答案　(1)[0，4]；(2)－3．‎ ‎2.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.‎ 若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ 答案　 ‎3．(1)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．‎ ‎ (2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是 ．‎ 答案：(1)－3；(2) ‎ ‎4. (1) 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．‎ ‎ (2)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于____ __．‎ 答案：(1) ；(2)k＝12．‎ ‎5．(1)在边长为2的菱形ABCD中，ÐBAD＝60°，E为CD中点，则×＝ ．‎ ‎(2)已知OA＝OB＝2，·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60°， ‎ 则·＝________________．‎ 答案：(1) 1；(2) 8－4．‎ 二、方法联想 ‎1．向量的运算 方法1 用向量的代数运算．‎ 方法2 结合向量表示的几何图形．‎ 变式1：已知平面向量,满足||＝1，且与－的夹角为120°，则的模的取值范围是 ‎ ‎（答案：（0，]，考查结合向量的几何图形求解）‎ 变式2、△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________.‎ ‎（答案：，考查外心隐含着垂直关系)‎ ‎2．向量的坐标运算 ‎ 方法：利用向量共线、垂直的条件及向量数量积的定义，列出等式或不等式去求字母的值或范围．‎ ‎3．向量的数量积运算 方法1 利用定义，直接计算．‎ 方法2 利用向量坐标来运算．‎ 方法3 基底，将向量的数量积转化为两个基向量的数量积运算 变式1：已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则·的最小值为 ．‎ ‎（答案：2－3，考查利用向量数量积的定义解决）‎ ‎4．向量的夹角 ‎ 方法1：利用图形及向量夹角的定义求夹角；‎ 方法2：求两向量的数量积及两向量的模，再代入数量积公式．‎ ‎5．向量的综合应用 方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．‎ 方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决 三、例题分析 例1：(1) 如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为 ．‎ ‎ (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝ ，y＝ ． ‎ A B C P N 第(1)题图 ‎(3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是____ __．‎ O A B C m 第(3)题图 ‎45°‎ ‎60°‎ 第(2)题图 答案：(1)；(2) 1＋和；(3)．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．平面向量的基本定理，向量的分解．‎ 方法1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理．‎ 方法2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解．‎ 方法3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．第1小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设＝λ，再利用基底表示的唯一性，求λ的值；‎ ‎2．第2小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小．‎ ‎3．第3小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择∠AOC＝θ作自变量，来建立x＋y的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些。‎ 例2：(1)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________.‎ ‎(2)等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且＝m，‎ ＝n，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝1．若EF、BC的中点分别为M、N，‎ A B C E F M N 则||的最小值为 ．‎ 答案：(1)(－，0)；(2)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．几何图形中的向量关系与计算问题 ‎ 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示；‎ ‎ 方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ ‎1．解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法．第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点．‎ ‎2．第(1)题中，显然选择与作为基底，因为动点O在线段CD上，可设＝λ(0＜λ＜‎ ‎1)，‎ 将用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用λ表示x)，从而求出x的范围；‎ ‎3．第(2)题用基底法与坐标法均可．基底法难点是用基底、来表示，构造三角形△AMN，将向量放在△AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示．＝(＋)＝( m＋n)，＝(＋)．在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化．‎ 用坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来．需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质．‎ ‎4．关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的．‎ 例3：(1)函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)•＝ ．‎ ‎(2)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD，E为BC边上的点，且·＝0．则·＝ ；·＝ ．‎ ‎(3)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E是BC的中点，点F在边CD上，‎ 若·＝，则·的值是 ．‎ x y A B O ‎1‎ A B E C F D 答案：（1）6；（2）－，；（3）；‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．坐标形式下向量数量积的运算．‎ 方法：利用函数的性质，求出点A、B的坐标．‎ ‎2．几何图形中的数量积运算．‎ ‎ 方法1：基底法；选择适当的基底，把向量用基底表示，将数量积运算转化为基底的模与数量积；‎ ‎ 方法2：坐标法；建立适当的坐标系，用坐标表示图形中各点的坐标，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示来计算。‎ 二、方法选择与优化建议：‎ 第1小题，已经有坐标系，用坐标法较方便；‎ 第2、3两小题都是几何图形中的数量积运算，第2小题用基底法较方便，第3小题既可用基底法也可用坐标方法，用图形是矩形，所以用坐标法，计算量要小。‎ 例4：(1)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________.‎ ‎(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________ ．‎ ‎(3) 在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，‎ 则·的值是_____ ___.‎ 答案　(1)1；　(2)；(3) ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．与向量有关的最值问题．‎ 方法1：利用向量与图形的几何意义，求最值．‎ 方法2：建立目标函数，求函数的最值.‎ ‎2．几何图形中的数量积运算．‎ ‎ 方法1：基底法；选择适当的基底，把向量用基底表示，将数量积运算转化为基底的模与数量积；‎ ‎ 方法2：坐标法；建立适当的坐标系，用坐标表示图形中各点的坐标，从而求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示来计算。‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 第(1)(2)题是研究最值问题，第(1)题图形的几何意义来探究，因为a，b，c均为单位向量，a·b＝0，‎ 作＝a，＝b，＝c，则A，B，C在以O为原点的单位圆上，且OA⊥OB，又因为 ‎(a－c)·(b－c)≤0，即·≤0，即点C在劣弧上，即∠ACB＝135°，以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则a＋b＝(1，1)，所以|a＋b－c|表示当动点C在劣弧上运动时，‎ C与(1，1)的距离，因而最大值为1，本题也可以用坐标法，设C(x，y)，将|a＋b－c|用x，y表示，用线性规划的知识求最值；‎ 第(2)题用基底法或坐标法建立目标函数，再求函数的最值。‎ 第(3)题是在图形中求向量的数量积，本题用基底法较方便，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，本题也可考虑特殊化问题，让AD⊥BC，这样也可用建系的方法求解，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.‎ 例5：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，b2－a2－c2) ，‎ n＝(2sin A－sin C，c2－a2－b2)，且m∥n．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围.‎ 答案：(1) ；(2) ＜T≤．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．向量与三角函数的综合问题．‎ 方法：利用向量的知识，转化为三角变换或三角函数性质与图象的问题．‎ 这类问题，向量只是作为条件的一个呈现形式，利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ ‎ 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.‎ b c a 四、反馈练习 ‎1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．‎ 若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．‎ 答案：4；(考查平面向量的线性表示)‎ ‎2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________．‎ 答案：1； (考查平面向量的数量积与向量的线性运算，向量的模)‎ E B A C D ‎3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，＝，＝．‎ 若·＝－，则·＝ ．‎ 答案：－．(考查基底法或坐标法求平面向量的数量积)‎ ‎4．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ 答案：90°　(考查平面向量的线性运算与夹角问题)‎ ‎5．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，‎ 则·的值是________.‎ 答案：22．(考查平面向量的线性表示、数量积，基底法与坐标法)‎ ‎6．已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，‎ 则|c|的取值范围是 ．‎ 答案：[－1，＋1] (考查平面向量的模与数量积之间的关系)‎ ‎7．在△ABC中，已知BC＝2，·＝1，则△ABC面积的最大值是 ．‎ 答案：．(考查平面向量数量积与夹角)‎ ‎8．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ 答案：90°　(考查平面向量数量积与夹角)‎ ‎9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P是AM上一动点，则·(＋)的最小值等于 ．‎ 答案：－：(考查平面向量数量积，利用不等式求最值问题)‎ ‎10．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，‎ 则|＋＋|的最大值是________．‎ 答案：1＋　(考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质)‎ ‎11．已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．‎ 设向量m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，且m与n的夹角为．‎ ‎(1)计算m·n的值并求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S．‎ 答案：(1) m·n＝；A＝；(2) ．‎ ‎(考查平面向量的坐标运算，平面向量的夹角，解三角形与三角形面积问题)‎ ‎12．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，‎ DF＝μDC．‎ 若·＝1，·＝－，求λ＋μ的值．‎ 答案： ．(考查平面向量的线性表示，数量积，坐标法或基底法)‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，A(4，0)，C(1，)，点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)．‎ ‎ (1)求∠ABC的大小；‎ ‎(2)是否存在实数λ，使(λ－)⊥ ? 若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 答案：(1) ∠ABC＝60°； (2) 存在，λ∈[－ ，]．‎ ‎(考查平面向量的坐标运算，两向量垂直)‎ ‎14．△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行.‎ ‎ (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.‎ 答案：(1) ；(2) ‎ (考查平面向量的坐标运算，解三角形问题)‎