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- 2021-06-30 发布
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第三节 平面向量的数量积及其应用
[考纲要求]
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影 的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
第1课时 系统知识——平面向量的数量积
平面向量的数量积
1.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.
(2)范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直:若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.
2.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos θ的乘积.
[提醒] (1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积,这两个投影是不同的.
(2)a在b方向上的投影也可以写成,投影是一个数量,可正可负也可为0,它的符号取决于θ角的范围.
3.向量数量积的性质
设a,b是两个非零向量,e是单位向量,α是a与e的夹角,于是我们就有下列数量积的性质:
(1)e·a=a·e=|a||e|cos α=|a|cos α.
(2)a⊥b⇔a·b=0.
(3)a,b同向⇔a·b=|a||b|;
a,b反向⇔a·b=-|a||b|.
特别地a·a=|a|2=a2或|a|=.
(4)若θ为a,b的夹角,则cos θ=.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;
a2-b2=(a+b)(a-b).
以上结论可作为公式使用.
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·λ(b)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[提醒] 对于实数a,b,c有(a·b)·c=a·(b·c),但对于向量a,b,c而言,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,即不满足向量结合律.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
1.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案:-2
2.已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________.
解析:a·b=|a||b|cos 30°=2××=3.
答案:3
3.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点,则在方向上的投影为________.
答案:-
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则·的值是________.
答案:-1
5.已知向量a,b满足|a|=|b|=2且a·b=-2,则向量a与b的夹角为________.
答案:
6.已知矩形ABCD中,AB=,BC=1,则·=________.
解析:设=a,=b,则a·b=0,∵|a|=,|b|=1,∴·=(a+b)·(-b)=-a·b-b2=-1.
答案:-1
平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cos θ=
cos θ=
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.
答案:12
2.向量a=(3,4)在向量b=(1,-1)方向上的投影为________.
解析:a在b上的投影为==-.
答案:-
3.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于________.
解析:设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),
所以解得故b=(-5,12),
所以cosa,b==.
答案:
4.已知向量a=(2,7),b=(x,-3),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围为____________________.
解析:由a·b=2x-21<0,得x<,当a与b共线时,=,则x=-,
故x的取值范围为x<且x≠-.
答案:∪
5.向量a=(1,2),b=(-1,1),若ka+b与b互相垂直,则实数k的值为________.
解析:∵ka+b=(k-1,2k+1),b=(-1,1),
∴(ka+b)·b=(k-1)×(-1)+2k+1=k+2=0,k=-2.
答案:-2
6.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=________.
解析:因为a=(1,0),b=(-1,m),所以ma-b=(m+1,-m).
由a⊥(ma-b),得a·(ma-b)=0,即m+1=0,所以m=-1.
答案:-1
[课时跟踪检测]
1.(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a,b满足b·(a+b)=3,且|a|=1,|b|=2,则|a+b|=( )
A. B.
C. D.2
解析:选A 因为|a|=1,|b|=2,b·(a+b)=3,所以a·b=3-b2=-1,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=1-2+4=3,所以|a+b|=,故选A.
2.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(-2)·(3+4)=( )
A.- B.-
C.-6- D.-6+
解析:选B (-2)·(3+4)=3·-62+4·-8·=3||·||·cos 120°-6||2+4||·||cos 120°-8||·||·cos 120°=3×1×1×-6×12+4×1×1×-8×1×1×=--6-2+4=-,故选B.
3.(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a,b满足a·b=0,|a|=3,且a与a+b的夹角为,则|b|=( )
A.6 B.3
C.2 D.3
解析:选D 因为a·(a+b)=a2+a·b=|a||a+b|·cos ,所以|a+b|=3,将|a+b|=3两边平方可得,a2+2a·b+b2=18,解得|b|=3,故选D.
4.(2018·永州二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=( )
A. B.1
C. D.2
解析:选A ∵非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,∴a·b=|a|×1×=.
∵|2a-b|=1,∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1,
∴4|a|2-2|a|=0,∴|a|=或|a|=0(舍),故选A.
5.(2019·北京四中期中)已知向量a=(3,1),b=,则下列向量与a+2b垂直的是( )
A.c=(-1,2) B.c=(2,-1)
C.c=(4,2) D.c=(-4,2)
解析:选C ∵向量a=(3,1),b=,∴a+2b=(3,1)+(-4,1)=(-1,2),
∵(-1,2)·(-1,2)=1+4=5,(-1,2)·(2,-1)=-2-2=-4,(-1,2)·(4,2)=-4+4=0,
(-1,2)·(-4,2)=4+4=8,∴向量c=(4,2)与a+2b垂直,故选C.
6.(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a=(-2,m),b=(1,2),若向量a在向量b方向上的投影为2,则实数m=( )
A.-4 B.-6
C.4 D.+1
解析:选D 由题意可得a·b=-2+2m,且|b|==,则向量a在向量b方向上的投影为==2,解得m=+1.故选D.
7.(2018·茂名二模)已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选B ∵a=(2sin 13°,2sin 77°)=(2sin 13°,2cos 13°),∴|a|=2.又∵|a-b|=1,a与a-b的夹角为,∴a·(a-b)=|a||a-b|·cos ,∴a2-a·b=2×1×=1,∴a·b=3.故选B.
8.(2019·鞍山一中一检)已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.6 B.5
C.1 D.-6
解析:选A ∵向量a=(2,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(3,0),则(2a+b)·a=6.故选A.
9.(2019·南充一诊)已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=-1,则(3a-b+5c)·b=( )
A.-1 B.1
C.6 D.-6
解析:选D 因为向量a,b是互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=-1,
所以(3a-b+5c)·b=0-b2+5c·b=-1+5×(-1)=-6.故选D.
10.(2019·闽侯第六中学期末)已知=(cos 23°,cos 67°),=(2cos 68°,2cos 22°),则△ABC的面积为( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:选D 根据题意,=(cos 23°,cos 67°),∴=-(cos 23°,sin 23°),
则||=1.又∵=(2cos 68°,2cos 22°)=2(cos 68°,sin 68°),∴||=2.
∴·=-2(cos 23°cos 68°+sin 23°sin 68°)=-2×cos 45°=-,∴cos B==-,则B=135°,则S△ABC=||||sin B=×1×2×=,故选D.
11.(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D在边BC上,且BD=2DC,则·的值为( )
A.1- B.
C. D.1+
解析:选B ∵△ABC是边长为1的等边三角形,且BD=2DC,∴=,
∴·=·(+)=2+·=1+×1×1×=,故选B.
12.(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析:选D 由·=0,得BC垂直于角A的平分线,则△ABC为等腰三角形,AB,AC为腰.由·=,得A=60°.所以△ABC为等边三角形,故选D.
13.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则|a+2b|=________.
解析:∵|a+2b|2=(-1)2+72=50,∴|a+2b|=5.
答案:5
14.(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a,b满足|a+2b|=,则a,b的夹角为________.
解析:因为|a+2b|=,所以|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=()2.又a,b是两个单位向量,所以|a|=1,|b|=1,所以a·b=-.因为a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,所以cos〈a,b〉=-,则a,b的夹角为.
答案:
15.(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为2的等边三角形ABC中,点O为△ABC外接圆的圆心,则·(+)=________.
解析:如图,O是正三角形ABC外接圆的圆心(半径为2),则O也是正三角形ABC的重心.设AO的延长线交BC于点D,则+=2=-,∴·(+)=-2=-4.
答案:-4
16.已知向量=(m,1),=(2-m,-4),若·>11,则m的取值范围为________.
解析:由向量=(m,1),=(2-m,-4),得=+=(2,-3).
又因为·>11,所以2m-3>11,解得m>7.
答案:(7,+∞)