2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测1+集合与常用逻辑用语 9页

单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语 (120 分钟 150 分) (对应学生用书第 172 页) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝( ) A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U A 2．(2017·武汉模拟)已知集合 A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{x∈Z|x2＜9}，则 A∩B＝( ) A．{2} B．(－3,3) C．(1,3) D．{1,2} D 3．命题“存在 x0∈∁RQ，x20∈Q”的否定是( ) 【导学号：00090384】 A．存在 x0∉∁RQ，x20∈Q B．存在 x0∈∁RQ，x20∉Q C．任意 x∉∁RQ，x2∈Q D．任意 x∈∁RQ，x2∉Q D 4．设 A＝ x|1 2 ＜x＜5，x∈Z ，B＝{x|x≥a}．若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．a＜1 2 B．a≤1 2 C．a≤1 D．a＜1 C 5．使 x2＞4 成立的充分不必要条件是( ) A．2＜x＜4 B．－2＜x＜2 C．x＜0 D．x＞2 或 x＜－2 A 6．(2017·郑州模拟)已知集合 A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－x＝0}，若 A⊆B，则由 a 的取值构成的集合为( ) A．{1} B．{0} C．{0,1} D．∅ C 7．已知原命题：已知 ab＞0，若 a＞b，则1 a ＜1 b ，则其逆命题、否命题、逆否命 题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A．0 B．2 C．3 D．4 D 8．(2017·广州模拟)设等差数列{an}的公差为 d，则 a1d＞0 是数列(3a1an)为递增 数列的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A 9．已知命题 p：存在 x0∈R，x0＜x20＋1，命题 q：任意 x∈R，sin4x－cos4x≤1， 则 p 或 q，p 且 q，(綈 p)或 q，p 且(綈 q)中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C 10．已知函数 f(x)＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“存在 x0∈R，使 f(x0)＜0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 11．(2017·阜阳模拟)对于集合 M，N，定义 M－N＝{x|x∈M，且 x∉N}，M⊕N＝ (M－N)∪(N－M)．设 A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则 A ⊕B 等于( ) A. －9 4 ，0 B. －9 4 ，0 C. －∞，－9 4 ∪[0，＋∞) D. －∞，－9 4 ∪(0，＋∞) C 12．原命题为“若an＋an＋1 2 ＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题， 否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) 【导学号：00090385】 A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横 线上) 13．已知集合 Q＝{m∈Z|mx2＋mx－2＜0 对任意实数 x 恒成立}，则 Q 用列举法 表示为________． {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0} 14．已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合 A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈ B}，集合 A×B 中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素的个数是________． 4 15．下列 3 个命题： ①“函数 f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”； ②“如果 x2＋x－6≥0，则 x＞2”的否命题； ③在△ABC 中，“A＞30°”是“sin A＞1 2 ”的充分不必要条件． 其中真命题的序号是________． ② 16．设集合 A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合 B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若 A∩B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是________． 3 4 ，4 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17．(10 分)已知集合 A＝{x|x2－1＜0}，B＝{x|x＋a＞0}． (1)若 a＝－1 2 ，求 A∩B. (2)若 A∩B＝A，求实数 a 的取值范围． [解] A＝{x|－1＜x＜1}． (1)当 a＝－1 2 时，B＝ x|x－1 2 ＞0 ＝ x|x＞1 2 ，所以 A∩B＝ x|1 2 ＜x＜1 . (2)若 A∩B＝A，则 A⊆B，因为 B＝{x|x＞－a}，所以－a≤－1，即 a≥1. 18．(12 分)设集合 A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且 A≠B，A∪ B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求 a，b，c 的值． [解] 因为 A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B， 所以(－3)2－3a－12＝0，解得 a＝－1， A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}． 因为 A∪B＝{－3,4}，且 A≠B， 所以 B＝{－3}， 即方程 x2＋bx＋c＝0 有两个等根为－3， 所以 －3＋－3＝－b， －3×－3＝c， 即 b＝6，c＝9. 综上，a，b，c 的值分别为－1,6,9. 19．(12 分)已知 c＞0，且 c≠1，设 p：函数 y＝cx 在 R 上单调递减；q：函数 f(x) ＝x2－2cx＋1 在 1 2 ，＋∞ 上为增函数，若“p 且 q”为假，“p 或 q”为真， 求实数 c 的取值范围． [解] 命题 p 为真时，因为函数 y＝cx 在 R 上单调递减，所以 0＜c＜1. 即 p 真时，0＜c＜1. 因为 c＞0 且 c≠1，所以 p 假时，c＞1. 命题 q 为真时，因为 f(x)＝x2－2cx＋1 在 1 2 ，＋∞ 上为增函数，所以 c≤1 2. 即 q 真时，0＜c≤1 2 ，因为 c＞0 且 c≠1， 所以 q 假时，c＞1 2 ，且 c≠1. 又因为“p 或 q”为真，“p 且 q”为假， 所以 p 真 q 假或 p 假 q 真． (1)当 p 真，q 假时， {c|0＜c＜1}∩ c|c＞1 2 且 c≠1 ＝ c|1 2 ＜c＜1 . (2)当 p 假，q 真时，{c|c＞1}∩ c|0＜c≤1 2 ＝∅. 综上所述，实数 c 的取值范围是 c|1 2 ＜c＜1 . 20．(12 分)(2017·保定模拟)已知 p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0. (1)若 p 是真命题，求对应 x 的取值范围． (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围． [解] (1)因为 x2≤5x－4， 所以 x2－5x＋4≤0， 即(x－1)(x－4)≤0，所以 1≤x≤4， 即对应 x 的取值范围为 1≤x≤4. (2)设 p 对应的集合为 A＝{x|1≤x≤4}． 由 x2－(a＋2)x＋2a≤0， 得(x－2)(x－a)≤0. 当 a＝2 时，不等式的解为 x＝2，对应的解集为 B＝{2}； 当 a＞2 时，不等式的解为 2≤x≤a，对应的解集为 B＝{x|2≤x≤a}； 当 a＜2 时，不等式的解为 a≤x≤2，对应的解集为 B＝{x|a≤x≤2}． 若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B A， 当 a＝2 时，满足条件； 当 a＞2 时，因为 A＝{x|1≤x≤4}， B＝{x|2≤x≤a}， 要使 B A，则满足 2＜a≤4； 当 a＜2 时，因为 A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使 B A，则满足 1≤a ＜2. 综上，a 的取值范围为 1≤a≤4. 21 ． (12 分 ) 已 知 集 合 A ＝ {y|y2 － (a2 ＋ a ＋ 1)y ＋ a(a2 ＋ 1) ＞ 0} ， B ＝ y|y＝1 2x2－x＋5 2 ，0≤x≤3 . (1)若 A∩B＝∅，求 a 的取值范围． (2)当 a 取使不等式 x2＋1≥ax 恒成立的 a 的最小值时，求(∁RA)∩B. 【导学号：00090386】 [解] A＝{y|y＜a 或 y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}． (1)当 A∩B＝∅时， a2＋1≥4， a≤2， 解得 3≤a≤2 或 a≤－ 3. 即 a∈(－∞，－ 3]∪[ 3，2]． (2)由 x2＋1≥ax，得 x2－ax＋1≥0， 依题意Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2. 所以 a 的最小值为－2. 当 a＝－2 时，A＝{y|y＜－2 或 y＞5}． 所以∁RA＝{y|－2≤y≤5}， 故(∁RA)∩B＝{y|2≤y≤4}． 22．(12 分)求证：方程 ax2＋2x＋1＝0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a＝1. 【证明】 充分性：当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0，其根为 x＝－1 2 ，方程只 有一负根． 当 a＝1 时，方程为 x2＋2x＋1＝0，其根为 x＝－1，方程只有一负根． 当 a＜0 时，Δ＝4(1－a)＞0，方程有两个不相等的根， 且1 a ＜0，方程有一正一负两个根． 所以充分性得证． 必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 有且只有一负根． 当 a＝0 时，符合条件． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 有实根， 则Δ＝4－4a≥0，所以 a≤1， 当 a＝1 时，方程有一负根 x＝－1. 当 a＜1 时，若方程有且只有一负根， 则 a＜1， 1 a ＜0， 所以 a＜0. 所以必要性得证． 综上，方程 ax2＋2x＋1＝0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a＝1.