2019届二轮复习第21讲　不等式选讲学案（全国通用） 8页

第21讲　不等式选讲 ‎1.[2017·全国卷Ⅰ 已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)= x+1 + x-1 .‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1 ,求a的取值范围.‎ ‎[试做 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　含绝对值的不等式的解法 含绝对值不等式的解题策略:‎ 关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;‎ 关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅱ 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ ‎[试做 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　不等式的证明 不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.‎ ‎3.[2016·全国卷Ⅲ 已知函数f(x)= 2x-a +a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)= 2x-1 ,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ ‎[试做 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　关于含绝对值不等式的恒成立问题 解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:‎ ‎①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;‎ ‎②f(x)a有解⇔f(x)max>a;‎ ‎④f(x)a无解⇔f(x)max≤a;‎ ‎⑥f(x)0.‎ ‎(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{ ≤-1},求a的值.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】‎ 高考常考的含有绝对值的不等式的解法:‎ ‎(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论.‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.‎ ‎(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.‎ ‎【自我检测】‎ 已知函数f(x)= x+m + 2x-1 .‎ ‎(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤ 2x+1 的解集包含‎3‎‎4‎,2,求实数m的取值范围.‎ 解答2不等式的证明 ‎2 已知函数f(x)= x+1 - x-4 .‎ ‎(1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0 时,证明:a2+b2+c2≥‎1‎‎2‎.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】‎ 高考中不等式证明的关注点:‎ 不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.‎ ‎【自我检测】‎ 已知函数f(x)= x-1 + x-5 .‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)>6;‎ ‎(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b,c 都是正实数,且‎1‎a+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=m‎4‎,求证:a+2b+3c≥9.‎ 解答3含绝对值不等式的恒成立问题 ‎3 已知函数f(x)= x-2 - 2x-2 .‎ ‎(1)求不等式f(x)+1>0的解集;‎ ‎(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎[听课笔记 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【考场点拨】‎ 利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用分离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,则转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)1时,①式化为x2+x-4≤0,从而11时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2,+∞).‎ ‎ 考点考法探究 解答1‎ ‎ 例1　解:(1)当a=3时,不等式f(x)≥5x+1即 2x-3 +5x≥5x+1,即 2x-3 ≥1,解得x≥2或x≤1,‎ ‎∴不等式f(x)≥5x+1的解集为{ ≤1或x≥2}.‎ ‎(2)由f(x)≤0得 2x-a +5x≤0,‎ 即x≥a‎2‎,‎‎7x-a≤0‎或x0,∴不等式f(x)≤0的解集为xx≤-a‎3‎,‎ 由题意得-a‎3‎=-1,解得a=3.‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)当m=-1时,f(x)= x-1 + 2x-1 .‎ ‎①当x≥1时,f(x)=3x-2≤2,此时1≤x≤‎4‎‎3‎;‎ ‎②当‎1‎‎2‎6得 x<1,‎‎1-x+5-x>6‎或‎1≤x≤5,‎x-1+5-x>6‎或x>5,‎x-1+x-5>6,‎ 解得x<0或x>6,‎ 所以不等式f(x)>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).‎ ‎(2)证明:由f(x)= x-1 + x-5 ≥ x-1-(x-5) =4(当且仅当1≤x≤5时取等号),‎ 得f(x)min=4,即m=4,从而‎1‎a+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c=1,‎ 所以a+2b+3c=‎1‎a+‎1‎‎2b+‎1‎‎3c(a+2b+3c)=3+a‎2b+‎2ba+a‎3c+‎3ca+‎2b‎3c+‎3c‎2b≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).‎ 解答3‎ ‎ 例3　解:(1)当x≤1时,f(x)=x,‎ ‎∴f(x)+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-10即为-3x+5>0,解得x<‎5‎‎3‎,此时12时,f(x)=-x,‎ ‎∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.‎ 综上可知,f(x)+1>0的解集为x-12.‎ 作出y=f(x)的图像,如图所示:‎ 结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,‎ ‎∴实数a的取值范围为(2,+∞).‎ ‎【自我检测】‎ 解:(1)∵f(x)= x+a + x-3a ≥ (x+a)-(x-3a) =4 a ,‎ 且f(x)min=4,∴4 a =4,‎ 解得a=±1.‎ ‎(2)由题知 m 2-4 m ≤4 a ,‎ 又a是存在的且a∈[-2,3 .‎ ‎∴ m 2-4 m ≤4 a max=12,‎ 即 m 2-4 m -12≤0,即( m -6)( m +2)≤0,‎ ‎∴ m ≤6,‎ ‎∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6 .‎ ‎[备选理由 在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.‎ 例1　[配例2使用 已知函数f(x)= 2x-a ,g(x)=x+2,a∈R.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;‎ ‎(2)若b∈R,求证:fb‎2‎,f-b‎2‎,f‎1‎‎2‎中至少有一个不小于‎1‎‎2‎.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)+f(-x)≤g(x)即 2x-1 + 2x+1 ≤x+2,‎ 所以x≤-‎1‎‎2‎,‎‎-4x≤x+2,‎无解;‎-‎1‎‎2‎