2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题+第三周+星期五 3页

星期五　(函数与导数问题)　2017年____月____日 已知函数f(x)＝ex，其中a∈R，e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；‎ ‎(2)关于x的不等式f(x)＜－ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(3)讨论函数f(x)极值点的个数.‎ 解　(1)由题意得f′(x)＝ex，‎ 因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，‎ 所以f′(0)＝1，解得a＝－1.‎ ‎(2)法一　由f(x)＜－ex，‎ 得ex＜－ex，‎ 即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0对任意x∈(－∞，2)恒成立，‎ 即(6－3x)a＞x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立，‎ 因为x＜2，所以a＞＝－(x－2)2，‎ 记g(x)＝－(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，‎ 所以a≥0，即a的取值范围是[0，＋∞).‎ 法二　由f(x)＜－ex，‎ 得ex＜－ex，‎ 即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0在(－∞，2)上恒成立，‎ 因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)＜0，‎ ‎①当a≥0时，x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a≥0恒成立，‎ 所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意.‎ ‎②当a＜0时，记g(x)＝x2－4x＋3a＋4，有g(2)＝3a＜0，‎ 所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，‎ 原不等式等价于(x－2)(x－x1)(x－x2)＜0，‎ 解集为(－∞，x1)∪(2，x2)，与题设矛盾，所以a＜0不符合题意.‎ 综合①②可知，a的取值范围是[0，＋∞).‎ ‎(3)由题意得f′(x)＝ex，‎ 所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点.‎ 令g(x)＝x3－x2＋ax－a，‎ ‎①若f(x)有且只有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为增函数或者g(x)的极值同号.‎ 当g(x)为增函数时，g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.‎ 当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，‎ 由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a＜1，‎ 且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，‎ 则x1，x2为x2－2x＋a＝0的两根，‎ 所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，‎ 所以g(x1)＝x－x＋ax1－a ‎＝x1(2x1－a)－x＋ax1－a ‎＝－(2x1－a)－ax1＋ax1－a ‎＝[(a－1)x1－a]，‎ 同理可得g(x2)＝[(a－1)x2－a]，‎ 所以g(x1)g(x2)＝[(a－1)x1－a]·[(a－1)x2－a]≥0，‎ 化简得(a－1)2x1x2－a(a－1)(x1＋x2)＋a2≥0，‎ 所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，‎ 即a≥0，所以0≤a＜1.‎ 所以当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；‎ ‎②若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a ‎＜0.‎ 综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点，‎ 当a＜0时，f(x)有三个极值点.‎