数学理卷·2018届四川省成都树德中学高二上学期期末考试（2017-01） 9页

树德中学高2015级第三期期末考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1、设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2、已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（　　）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎3、设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A.y与x具有正的线性相关关系 ‎ B.回归直线过样本点的中心（，）‎ C.若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎4、下列说法正确的是 （ ）‎ A.命题“若,则”的否命题为“若，则”‎ B.命题“若”的否定是“”‎ C.命题“若，则”的逆否命题为假命题 D.命题“若，则”的逆命题为假命题 ‎5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为(　　)‎ A.　　　 B. C. D. ‎6、在长为10 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9 cm2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|2，则直线倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎10、点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的点，则|MN|的最小值是（　　）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B． ‎ C．2 D．‎ ‎11、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于 （ ） ‎ A.24 B.26 C.30 D.32‎ ‎12、已知圆C的方程，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_______运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）‎ ‎14、已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2： (x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝______‎ ‎15、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,椭圆和双曲线的离心率分别为、，则_____‎ ‎16、已知直线y=k与曲线恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；椭圆上存在关于直线y=x+m对称的不同两点，记m的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素，，则>的概率是_______‎ 三、解答题 ‎17、（10分）设命题p：点（1，1）在圆的内部；命题q：直线mx－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求的取值范围．‎ ‎18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在[70,80)内的频率；‎ ‎（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）‎ ‎（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．‎ ‎19、（12分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，且.‎ ‎（1）若椭圆与抛物线有共同的焦点，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设抛物线与（1）中所求椭圆的交点为，求以和所在的直线为渐近线，且经过点的双曲线方程. ‎ ‎20、（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，‎ ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）直线被圆C截得的弦长最短时，求直线的方程；‎ ‎（3）过原点的直线与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的取值范围.‎ ‎21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p＞0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．‎ ‎（1）若，求△FMN面积的最小值；‎ ‎（2）设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC+4kBD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点. ‎ ‎22、（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.‎ ‎（1）求动点P的轨迹的方程；‎ ‎（2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与交于两点,求四边形面积的最大值.‎ 树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（理科）‎ 参考答案【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 一、选择题 ADDDCB CDBADA 二、填空题 ‎13、乙 14、±2或0 15、4 16、‎ 三、解答题 ‎17、解：命题p，…………3分 命题q……………6分 ① p真q假时，；②p假q真时，.‎ 故m的取值范围为或………10分 ‎18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：‎ ‎1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 ‎(2)中位数…………6分 ‎(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a，b；‎ 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f.‎ 设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A，所有基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个…………8分 其中事件A包含(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．……10分 ‎∴P(A)＝………12分 ‎19、解:（1）P到焦点距离等于P到准线距离，所以，‎ 故抛物线的方程为……………………….3分 又由椭圆, 可知,故所求椭圆的方程为……………....6分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）由,消去得到,解得(舍去).‎ 所以,则双曲线的渐近线方程为……………………8分 由渐近线,可设双曲线方程为.‎ 由点在抛物线上,解得………………...……10分 因为点在双曲线上, ,‎ 故所求双曲线方程为: ……………………………………….…………..12分 ‎20、解：（1）或………3分 ‎（2）直线恒过定点 当直线时，弦长最短，此时直线的方程为………7分 ‎（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得………9分 由于点P在圆内，由得 所以：（注：范围也可写成）………10分 或………12分 ‎21、解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为 联立，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理 ‎∴S△FMN＝|FM|·|FN|＝＝ 当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1. ……....5分 ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为，‎ 联立，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 ……....7分 故kAC+4kBD 注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4， ……....10分 直线AC的方程为化简得即 所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）……....12分 ‎22、解：（1）由已知，得．‎ 两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）‎ ‎（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.‎ y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，‎ 故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0，…....5分 圆心与直线mx＋2y＝0的距离为，|PQ|…....7分 设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分 故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝‎ 令，则S＝（）‎ 当即时，.…....12分