数学卷·2018届陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版） 15页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（　　）‎ A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0‎ ‎2．已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则（　　）‎ A．￢p：存在x∈R，sinx≥1 B．￢p：任意x∈R，sinx≥1‎ C．￢p：存在x∈R，sinx＞1 D．￢p：任意x∈R，sinx＞1‎ ‎3．抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎4．“x＞﹣2”是“（x+2）（x﹣3）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（　　）‎ A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0‎ ‎6．下列选项中，说法正确的是（　　）‎ A．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 B．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 C．命题“若a=﹣b，则|a|=|b|”的否命题是真命题 D．命题“若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题 ‎7．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1或k＞9 B．1＜k＜9 C．1＜k＜9且k≠5 D．5＜k＜9‎ ‎8．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则•的值为（　　）‎ A．a2 B． a2 C． a2 D． a2‎ ‎12．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（　　）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.‎ ‎13．过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是　　．‎ ‎14．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=4，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为　　．‎ ‎15．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是　　．‎ ‎16．椭圆的离心率，则m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题p：平面内垂直于同一直线的两条直线不平行，命题q：平面内垂直于同一直线的两条直线平行．请你写出以上命题的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．‎ ‎18．以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程存在吗？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．△ABC两个顶点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0），边AC、BC所在直线的斜率之积是﹣4．‎ ‎（1）求顶点C的轨迹方程；‎ ‎（2）求直线2x﹣y+1=0被此曲线截得的弦长．‎ ‎20．如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，PA=PB=PC=．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）求平面PBC和平面ABC夹角的正切值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（　　）‎ A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵原命题和逆否命题互为等价命题，‎ 逆命题和否命题互为等价命题，‎ ‎∴四种命题真命题的个数为0或2或4个，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则（　　）‎ A．￢p：存在x∈R，sinx≥1 B．￢p：任意x∈R，sinx≥1‎ C．￢p：存在x∈R，sinx＞1 D．￢p：任意x∈R，sinx＞1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 即存在x∈R，sinx＞1，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程可得 ‎ p=10，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=20x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=10，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．“x＞﹣2”是“（x+2）（x﹣3）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由（x+2）（x﹣3）＜0得﹣2＜x＜3，‎ 则“x＞﹣2”是“（x+2）（x﹣3）＜0”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（　　）‎ A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】渐近线方程是﹣y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．‎ ‎【解答】解：双曲线 其渐近线方程是﹣y2=0‎ 整理得 x±2y=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．下列选项中，说法正确的是（　　）‎ A．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题 B．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题 C．命题“若a=﹣b，则|a|=|b|”的否命题是真命题 D．命题“若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题 ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断，‎ B．根据逆命题的定义进行判断，‎ C．根据逆否命题的定义判断逆命题的真假即可，‎ D．根据逆否命题的等价关系判断原命题为真命题即可．‎ ‎【解答】解：A．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q至少有一个为真命题，故A错误，‎ B．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为，命题“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，当m=0时，结论不成立，故B错误，‎ C．命题“若a=﹣b，则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|，则a=﹣b|”为假命题，a=b也成立，即逆命题为假命题，则否命题为假命题，故C错误，‎ D．命题“若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底”，则原命题为真命题，‎ 则逆否命题也为真命题，故D正确 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1或k＞9 B．1＜k＜9 C．1＜k＜9且k≠5 D．5＜k＜9‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，‎ ‎∴k﹣1＞9﹣k＞0，‎ ‎∴5＜k＜9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2‎ 上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为8的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．‎ ‎【解答】解：在椭圆C1中，由，得 椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），‎ 曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，‎ 故C2的标准方程为：﹣=1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用等差数列的中项的性质和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，可得 ‎2|F1F2|=|AF1|+|F1B|，‎ 即为4c=（a﹣c）+（a+c），‎ 即a=2c，e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．‎ ‎【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则•的值为（　　）‎ A．a2 B． a2 C． a2 D． a2‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可得， •=•=，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．‎ ‎【解答】解：由题意可得， •=•===，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（　　）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，‎ 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），‎ AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），‎ ‎∴△AKF的面积是4‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.‎ ‎13．过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是　16　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】依椭圆的定义得：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a ‎【解答】解：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2‎ 又∵AF1+AF2+=2a，BF1+BF2=2a，∴AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16‎ 故答案为：16‎ ‎　‎ ‎14．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=4，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为　30°　．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】可作出图形，取AC中点E，并连接C1E，BE，从而有C1E∥AD，从而得到∠EC1B或其补角便为异面直线AD和BC1所成角，根据条件可以求出△BC1E的三边长度，从而可以得到∠BEC1=90°，然后求sin∠BC1E，这样即可得出异面直线AD和BC1所成角的大小．‎ ‎【解答】解：如图，取AC中点E，连接C1E，BE，则C1E∥AD；‎ ‎∴∠EC1B或其补角为异面直线AD和BC1所成角；‎ 根据条件得：BE=2，C1E=2，BC1=4；‎ ‎∴BE2+C1E2=BC12；‎ ‎∴∠BEC1=90°；‎ ‎∴sin∠EC1B==；‎ ‎∴∠EC1B=30°；‎ ‎∴异面直线AD和BC1所成角的大小为30°．‎ 故答案为：30°‎ ‎　‎ ‎15．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是　y2=4x或x2=8y　．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：直线2x+y﹣2=0交x轴于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）；‎ ‎①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=2px，可得2p=4，‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x；‎ ‎②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2py，可得2p=8，‎ ‎∴抛物线方程为x2=8y 综上所述，抛物线方程为y2=4x或x2=8y．‎ 故答案为：y2=4x或x2=8y．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆的离心率，则m的取值范围是　或　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】当m＞1时，a2=m．b2=1，c2=m﹣1，e2=，‎ 当0＜m＜1时，a2=1．b2=m，c2=1﹣m，e2=∈（）．‎ ‎【解答】解：当m＞1时，a2=m．b2=1，c2=m﹣1，e2=，⇒m＞；‎ 当0＜m＜1时，a2=1．b2=m，c2=1﹣m，e2=∈（）⇒0＜m＜．‎ 故答案为：0＜m＜或m＞．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知命题p：平面内垂直于同一直线的两条直线不平行，命题q：平面内垂直于同一直线的两条直线平行．请你写出以上命题的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据复合命题的定义进行求解并判断即可．‎ ‎【解答】解：“p或q”：平面内垂直于同一直线的两条直线不平行或平行．（真命题）…‎ ‎“p且q”平面内垂直于同一直线的两条直线不平行或平行．（假命题）…‎ ‎“非p”：平面内垂直于同一直线的两条直线平行．（真命题）…‎ ‎　‎ ‎18．以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程存在吗？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程．‎ ‎【解答】解：设这样的直线存在，其被抛物线截得弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则yi2=8x1，y22=8x2①…‎ ‎①中两式做差，得（y2+y1）（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），‎ ‎∴kAB=﹣4．…‎ 得直线方程 y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．②…‎ 将②与曲线y2=8x联立，‎ 得16x2﹣32x+9=0，△=（﹣32）2﹣4×16×9＞0（必须检验！） …‎ ‎∴弦所在直线方程为4x+y﹣3=0．…‎ ‎　‎ ‎19．△ABC两个顶点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0），边AC、BC所在直线的斜率之积是﹣4．‎ ‎（1）求顶点C的轨迹方程；‎ ‎（2）求直线2x﹣y+1=0被此曲线截得的弦长．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用边AC、BC所在直线的斜率之积是﹣4，建立方程，即可求顶点C的轨迹方程；‎ ‎（2）利用弦长公式求直线2x﹣y+1=0被此曲线截得的弦长．‎ ‎【解答】解：（1）设C（x，y），由…‎ 由…‎ 化简可得4x2+y2=4…‎ 所以顶点C的轨迹方程为4x2+y2=4（x≠±1）…‎ ‎（2）设直线2x﹣y+1=0与曲线4x2+y2=4（x≠±1）相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．‎ 联立化为8x2+4x﹣3=0则，…‎ 弦长==‎ 所以直线2x﹣y+1=0被曲线4x2+y2=4（x≠±1）截得的弦长为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，PA=PB=PC=．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）求平面PBC和平面ABC夹角的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）设O是AC的中点，连接PO，BO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．‎ ‎（2）设H是BC的中点，连接OH，PH，则∠‎ PHO为平面PBC和平面ABC的夹角，由此能求出平面PBC和平面ABC夹角的正切值．‎ ‎【解答】（本小题满分17分）‎ 证明：（1）如图，设O是AC的中点，连接PO，BO．‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∴AC=2，OB=．…‎ 又∵PA=PC=，∴PO⊥AC，PO=2．…‎ ‎∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB．…‎ 又∵BO∩AC=O，∴PO⊥平面ABC．‎ ‎∵PO⫋平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…‎ 解：（2）设H是BC的中点，连接OH，PH．‎ ‎∵O为AC的中点，∴OH∥AB，且OH=AB=1．…‎ ‎∵AB⊥BC，∴OH⊥BC．又PB=PC，∴PH⊥BC．‎ ‎∴∠PHO为平面PBC和平面ABC的夹角． …‎ 在Rt△PHO中，tan∠PHO===2，‎ 即平面PBC和平面ABC夹角的正切值为2．…‎ ‎　‎ ‎2017年1月25日