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- 2021-06-30 发布
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1.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值是( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
解析 当公比q=1时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当q≠1时,a1q2=7,=21,解之得,q=-或q=1(舍去).综上可知,q=1或-.
答案 C
2.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知函数f(x)=ln x-x+-1,g(x)=-x2+2bx-4,若对任意的x1∈(0,2),任意的x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,则实数b的取值范围是( )
A. B.(1,+∞)
C. D.
解析 依题意,问题等价于f(x1)min≥g(x2)max,
f(x)=ln x-x+-1,
所以f′(x)=--=.
由f′(x)>0,解得1<x<3,故函数f(x)单调递增区间是(1,3),同理得f(x)的单调递减区间是(0,1)和(3,+∞),故在区间(0,2)上,x=1是函数f(x)的极小值点,这个极小值点是唯一的,所以f(x1)min=f(1)=-.
函数g(x2)=-x+2bx2-4,x2∈[1,2].
当b<1时,g(x)max=g(1)=2b-5;
当1≤b≤2时,g(x2)max=g(b)=b2-4;
当b>2时,g(x2)max=g(2)=4b-8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组得b<1,
解第二个不等式组得1≤b≤,
第三个不等式组无解.
综上所述,b的取值范围是.故选A.
答案 A
4.定义函数y=f(x),x∈D,若存在常数c,对任意x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得=c,则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)=lg x,x∈[10,100],则函数f(x)=lg x在[10,100]上的均值为( )
A. B. C. D.10
【答案】A 【解析】由题意可知x1x2=1000,所以x2=∈[10,100],所以函数f(x)=lg x在[10,100]上的均值为===.
5.已知g(x)=ax+a,f(x)=对∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],使g(x1)=f(x2)成立,则a的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.[-1,1]
C.(0,1] D.(-∞,1]
【答案】B 【解析】对∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],使g(x1)=f(x2)成立等价于当x∈[-2,2]时,函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集.易知当x∈[-2,2]时,函数f(x)的值域为[-3,3].
当a>0时,函数g(x)在[-2,2]上的值域为[-a,3a],由[-a,3a]⊆[-3,3],得-a≥-3且3a≤3,得a≤1,此时02π,对于C,D两个选项的图像,选项D中图像的最小正周期小于2π,故f(x)的图像不可能是选项D中的图像.
9.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,那么( )
A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4+a5 D.a1a8=a4a5
答案 B
解析 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1×8<4×5成立,即a1a80,函数单调递增,所以当x=时,y=xln x有最小值-,即-<-m<0,即0f(-2)的解集为( )
A.[-,-1] B.[-,]
C.[-,-1)∪(1,] D.(-,-1)∪(1,)
答案 C
17.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
答案 -
解析 当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0|PF2|,则的值为________.
答案 或2
解析 若∠PF2F1=90°,
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,
又|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,
所以|PF1|=,|PF2|=,所以=.
若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,且|PF1|>|PF2|,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
综上知,=或2.
19.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________.
答案 4 2
解析 设a,b的夹角为θ,
∵|a|=1,|b|=2,
∴|a+b|+|a-b|=+=+.
令y=+,
则y2=10+2.
∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],
∴y2∈[16,20],
∴y∈[4,2],即|a+b|+|a-b|∈[4,2].
∴|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2.
20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,则椭圆C离心率的取值范围是______________.
答案
解析 当点P在短轴端点时,∠F1PF2达到最大值,
即∠F1BF2≥120°时,椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°,
当∠F1BF2=120°时,e==sin 60°=,
而椭圆越扁,∠F1BF2才可能越大,
椭圆越扁,则其离心率越接近1,
所以椭圆C离心率的取值范围是.
21.已知α为钝角,且cos(+α)=-,则sin 2α=________.
【答案】-
【解析】cos(+α)=-,即sin α=,又α为钝角,∴cos α=-,∴sin 2α=2sin αcos α=-.
22.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于________cm2.
【答案】14π
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A BCD.把该三棱锥补成长方体,可得外接球的直径2r=,故外接球的表面积为14π.
23.若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为________.
【答案】
【解析】方法一:令y=tx,则t>0,代入不等式得x2+2tx2≤a(x2+t2x2),消掉x2得1+2t≤a(1+t2),即at2-2t+a-1≥0对任意t>0恒成立,显然a>0,故只要Δ=4-4a(a-1)≤0,即a2-a-1≥0,又a>0,所以
a≥.
方法二:令y=tx(t>0),则a≥=对任意的t>0恒成立.令m=1+2t>1,则t=,
则a≥===.
又≤=(当且仅当m=时,等号成立),所以a≥.
24.如图所示,已知△ABC是等腰直角三角形,CA=1,点P是△ABC内一点,过点P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分).当点P在△ABC内运动时,以P为顶点的三个三角形面积和取最小值时,以CP为半径的球的表面积为________.
【答案】
【解析】如图所示,以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(1,0),B(0,1).
设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x+y=a(00).
(1)若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值集合;
(2)证明:(1+)na时,f′(x)>0,
所以f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞),
所以f(x)min=f(a)=a-1-aln a.由题意得f(x)min≥0,即a-1-aln a≥0.
令g(a)=a-1-aln a,可得g′(a)=-ln a,因此g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(a)max=g(1)=0,故当a-1-aln a≥0时,a=1,
故实数a的取值集合为{1}.
(2)证明:要证明(1+)nf(1)=0,即ln x0,所以φ(x)在(1,2]上单调递增,因此φ(x)>φ(1)=0,即ln x+-1>0.综上可知原不等式成立.
29.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0.
(1)求数列的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.
解 (1)an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an,
所以{an+1-an}为常数列,
所以{an}是以a1为首项的等差数列,
设an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,
所以d==-2,所以an=10-2n.
(2)因为an=10-2n,令an=0,得n=5.
当n>5时,an<0;当n=5时,an=0;当n<5时,an>0.
所以当n>5时,
Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)
=T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,
Tn=a1+a2+…+an,
当n≤5时,
Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=Tn=9n-n2.
所以Sn=
30.已知函数g(x)=(a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x).
(1)若函数g(x)过点(1,1),求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;
(2)判断函数f(x)的单调性.
解 (1)因为函数g(x)过点(1,1),所以1=,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+.由f′(x)=+=,则f′(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为y=3x.
(2)因为f(x)=ln(x+1)+(x>-1),
所以f′(x)=+=.
①当a≥0时,因为x>-1,所以f′(x)>0,
故f(x)在(-1,+∞)上单调递增;
②当a<0时,由得-1<x<-1-a,
故f(x)在(-1,-1-a)上单调递减;
由得x>-1-a,
故f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增.
综上,当a≥0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增;
当a<0时,函数f(x)在(-1,-1-a)上单调递减,
在(-1-a,+∞)上单调递增.
31.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合,且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P,Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使·恒为定值?若存在,求出E的坐标,并求出这个定值;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题意,知抛物线的焦点为F(,0),
所以c==.
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形,
所以b=×=1.
可求得a=2,故椭圆的方程为+y2=1.
(2)假设存在满足条件的点E,当直线l的斜率存在时设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1).
由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.
则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2),
所以·=(m-x1)(m-x2)+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-++k2
=
=
=(4m2-8m+1)+.
要使·为定值,令2m-=0,
即m=,此时·=.
当直线l的斜率不存在时,
不妨取P,Q,
由E,可得=,=,
所以·=-=.
综上,存在点E,使·为定值.